LinAl13 (Электронные лекции)
Описание файла
Файл "LinAl13" внутри архива находится в папке "Электронные лекции". Документ из архива "Электронные лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "LinAl13"
Текст из документа "LinAl13"
6. Эрмитовы операторы.
Опр. 
- эрмитов оператор в унитарном пространстве V, если 
(т.е. 
).
Пусть 
- ортонормированный бзис V. 
- эрмитов оператор 
его матрица в в этом базисе эрмитова (этот факт был на самом деле доказан на предыдущей лекции).
Теорема. 1) Все собственные числа эрмитова оператора – вещественные.
2) Для эрмитова оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов.
1) 
, где x – собственный вектор. Но, с другой стороны, 
, откуда и следует 
.
2) Проведем индукцию по n. Для n=1 утверждение теоремы очевидно.
Шаг. Если 
, то доказывать нечего. Иначе 
- собственный вектор с собственным числом 
(вещественным по пред. пункту). Можно считать 
. Идея доказательства такая же, как и в вещественном случае. Обозначим через 
. Тогда W – подпространство, 
. (полное повторение вещественного случая, т.к. пространство решений одного уравнения). Покажем, что 
. Действительно, 
(
) 
. Это и означает, что 
. По индукции в 
есть ортонормированный базис из собственных векторов 
. Добавив к этой системе первым вектором x получим требуемый базис. 
.
Следствие. Для любой эрмитовой матрицы A существует унитарная матрица 
такая, что 
, где все 
.
7. Унитарные операторы.
Пусть V – унитарное пространство, - линейный опреатор на нем.
Опр. - унитарный оператор, если 
.
Предложение. - унитарный оператор имеет унитарную матрицу в ортонормированном базисе.
Т.к. 
.
Теорема. Для любого унитарного оператора в конечномерном векторном унитарном пространстве существует ортонормированный базис, в котором он имеет матрицу вида
В частности, все собственные числа равны по норме единице.
(1) Пусть x - cобственный вектор с собственным числом . Тогда 
.
(2) Рассмотрим собственный вектор 
- его собственное значение. 
. Тогда выполнено 
инвариантно. Так как 
, то 
. По индукции взяв искомый базис в и добавив 
и получим искомый базис всего пространства.
АФФИННЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Основное поле - 
.
Опр. Пара 
, где 
- векторное пространство называется аффинным пространством, если задано отображение 
такое, что выполнено (под «+» подразумевается 
):
1) 
2) 
3) 
В последнем свойстве иногда пишут 
или 
. Элементы A называют точками аффинного пространства. Само аффинное простаранство называют ассоциированным с . Кроме того, говорят, что у аффинного пространства есть размерность:
Опр. Размерность А: 
2. Изоморфизм
Пусть 
- два аффинных пространства, ассоциированные с одним и тем же векторным пространством .
Опр. Биективное отображение 
называется изоморфизмом, если 
. Это частный случай аффинно-линейного отображения , а именно:
Опр. Отображение (где 
ассоциированно с , а 
- с 
) называется аффинно-линейным, если существует линейное отображение 
такое, что 
. Иногда Df называют линейной частью, или дифференциалом для f.
Утверждение. f – биективно Df биективно.
Теорема. Аффинные пространства одинаковой размерности изоморфны.
Пусть и 
- два аффинных пространства одинаковой размерности. Построим изоморфизм . Зафиксируем 
. Положим для 
. Проверим определение. Пусть 
- произвольная точка, 
- произвольный вектор. 
. Поэтому 
. Итак f – искомый изоморфизм.
3. Координаты в аффинном пространстве.
Опр. Системой координат в аффинном пространстве называют набор 
, в котором o – точка из A, а - базис . o – начало координат. Т.к. , то можно определить координаты точки p в фиксированной системе координат, как набор 
, где x – координаты в разложении вектора 
по базису. Систему координат также можно задать 
точкой в 
. При этом 
- система координат с началом в 
и базисными векторами 
.
26.03.05
