Список определений и формулировок

СПИСОК ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛИРОВОК, ВТОРОЙ СЕМЕСТР.

1. Определение разбиения сегмента, измельчения и объединения разбиений.

2. Определение интегральной суммы, нижней и верхней сумм.

3. Определение предела интегральных сумм.

4. Определение интегрируемости функции по Риману.

5. Необходимое условие интегрируемости.

6. Соотношения между интегральной суммой и нижней и верхней суммами.

7. Выражение верхней и нижней сумм через интегральные суммы.

8. Понятие верхнего и нижнего интегралов Дарбу.

9. Оценка изменения верхней (нижней) суммы при добавлении к разбиению L новых точек.

10. Определение предела верхних (нижних) сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю.

11. Основная лемма Дарбу.

12. Критерий интегрируемости функции (через интегралы Дарбу).

13. Критерий интегрируемости функции (через верхние и нижние суммы).

14. Основные классы интегрируемых функций.

15. Условия интегрируемости сложной функции.

16. Основные свойства интегралов.

17. Основные оценки интегралов.

18. Первая теорема о среднем значении интеграла.

19. Вторая теорема о среднем значении интеграла.

20. Теоремы о свойствах интеграла с переменным верхним пределом.

21. Основная теорема интегрального исчисления (Лейбниц).

22. Теорема о замене переменной в интеграле.

23. Теорема об интегрировании по частям.

24. Определение несобственного интеграла первого рода.

25. Определение несобственного интеграла второго рода.

26. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода.

27. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла второго рода.

28. Общий признак сравнения несобственных интегралов первого рода.

29. Частный признак сравнения несобственных интегралов первого рода.

30. Определение условной сходимости несобственного интеграла первого рода.

31. Теорема Дирихле-Абеля сходимости несобственного интеграла первого рода.

32. Теорема о замене переменной в несобственном интеграле.

33. Теорема об интегрировании по частям в несобственном интеграле.

1. Определение простой кривой, параметризуемой кривой.

2. Определение спрямляемой кривой.

3. Теорема о длине дуги параметризуемой кривой.

4. Понятие площади плоской фигуры.

5. Критерии квадрируемости плоской фигуры.

6. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.

7. Определение объема тела в пространстве.

8. Классы кубируемых тел.

9. Формула прямоугольников (трапеций) приближенного вычисления интегралов и оценка погрешности.

10. Теорема Тейлора для функции одной переменной с остаточным членом в интегральной форме.

1. Определение предела функции многих переменных по Коши в точке .

2. Определение предела функции по Гейне в точке .

3. Критерий Коши существования предела функции многих переменных в точке .

4. Определение сходящейся последовательности точек в пространстве .

5. Понятий фундаментальной последовательности точек в пространстве .

6. Критерий Коши сходимости последовательности точек в пространстве .

7. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

8. Определение непрерывности функции многих переменных в точке .

9. Арифметические свойства непрерывных функций в точке .

10. Сформулировать теорему о непрерывности сложной функции.

11. Сформулировать теорему о прохождении непрерывной функции многих переменных через промежуточное значение.

12. Сформулировать теорему о постоянстве знака непрерывной функции многих переменных в точке .

13. Сформулировать первую теорему Вейерштрасса.

14. Сформулировать вторую теорему Вейерштрасса.

15. Определение равномерной непрерывности функции многих переменных. Сформулировать теорему Кантора о равномерной непрерывности функции.

16. Определение частной производной функции в точке .

17. Сформулировать дать определение дифференцируемости функции в точке .

18. Сформулировать достаточные условия дифференцируемости.

19. Определение дифференциала функции многих переменных.

20. Определение частной производной высокого порядка.

21. Теоремы о достаточных условиях независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.

22. Определение дифференциала второго порядка.

23. Определение производной по направлению функции многих переменных.

24. Градиент функции многих переменных.

25. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

26. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

27. Определение локального экстремума функции многих переменных.

28. Достаточные условия экстремума функции многих переменных.

29. Теорема о существовании, непрерывности и дифференцируемости функции многих переменных, заданной одним уравнением.

30. Теорема о разрешимости системы уравнений неявно заданных функций.

31. Определение зависимости функций. Достаточные условия независимости функций.

32. Теорема о функциональных матрицах.

33. Понятие условного экстремума функции при наличии связей.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ, 2 СЕМЕСТР

1. Отыскание точек локального экстремума функции. Достаточные условия экстремума.

2. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба. Достаточные условия перегиба.

3. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика функции.

4. Понятие интегрируемости функции. Леммы Дарбу о верхних и нижних суммах.

5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

6. Классы интегрируемых функций.

7. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Формулы среднего значения.

8. Основная формула интегрального исчисления. Формулы замены переменного и интегрирования по частям.

9. Понятие длины плоской кривой. Формулы для вычисления длины дуги кривой.

10. Понятие квадрируемости (площади) плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.

11. Понятие кубируемости (объем тела). Кубируемость некоторых классов тел.

12. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Формулы замены переменного и интегрирования по частям для несобственных интегралов.

13. Признак Абеля-Дирихле. Главное значение несобственного интеграла.

14. Метод хорд и его обоснование.

15. Метод касательных и его обоснование.

16. Приближенные методы вычисления определенных интегралов (для одного из методов вывести оценку погрешности)

17. Различные множества точек и последовательности точек n-мерного пространства. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

18. Понятие функции п переменных и ее предельного значения.

19. Непрерывность функции п переменных. Основные теоремы о непрерывных функциях.

20. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Касательная плоскость к поверхности.

21. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.

22. Производная по направлению. Градиент.

23. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о равенстве смешанных производных.

24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

25. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

26. Экстремум функции нескольких переменных и его отыскание.

27. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции.

28. Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений.

29. Понятие зависимости функций. Функциональные матрицы и их роль при исследовании зависимости функций.

30. Условный экстремум и методы его отыскания.