ma_x = F_TP; F_TP  N

0=N-mg ;

m² R   mg

4. Пример. Летчик выполняет "петлю Нестерова". Записать уравнение движения летчика в высшей точке петли. Радиус петли R.

Рис.94

= mg + N, где N - сила реакции опоры

5. Пример. Шарик массы m, прикрепленный к нити, движется в горизонтальной плоскости. Расстояние от точки подвеса до горизонтальной плоскости равно h. Найти угловую скорость шарика.

m² R = T sin 



mg = T cos 

tg  =

a = 0

6. Пример. Спутник вращается по круговой орбите радиуса r вокруг Земли. Определить скорость и период обращения спутника.

Если ввести в формулу радиус Земли R, то

где g = 9,8 м/сек ² R = 6 10³ км

7. Пример. Задача. Определить вес тела массой m = 1 кг на географической широте .

Рис.96

m² R cos  = mg cos  - N cos 

0 = N sin  - mg sin 

Решив, получим

P = N =

В частных случаях, когда тело находится на полюсе  = /2; P = mg.

Если тело находится на экваторе,  = 0; P = mg - m² R

Величина m² R = 3,3 г (3,3 10^-2 н)

Вопросы для домашнего задания

1. Может ли подвешенный к нити шарик вращаться по окружности так, чтобы нить и шарик находились в одной горизонтальной плоскости.

2. Определить минимальный период обращения спутника нейтронной звезды. Плотность звезды  = 10¹⁷ кг/м³ .

3. Автомобиль проходит поворот, лежащий в горизонтальной плоскости. Указать направление силы, действующий на автомобиль, если модуль скорости автомобиля а) остается постоянным; б) возрастает; в) убывает. Сопротивление воздуха пренебречь. Какова природа этой силы?

4. В вагоне поезда, идущего со скоростью V = 72 км/час по закруглению радиусом R = 200 м, производят взвешивание груза массой
m = 5 кг с помощью динамометра. Определить вес груза.

5. Какова должна быть наименьшая скорость мотоцикла для того, чтобы он мог ехать по внутренней поверхности вертикального кругового цилиндра радиусом R = 6 м по горизонтальной окружности, если коэффициент трения  = 0,4?

6. Найти зависимость силы сухого трения F_TP, действующей на тело массы m, помещенное на наклонную поверхность, в зависимости от угла , который образует плоскость с горизонтом. Коэффициент трения . Привести качественный график зависимости.

Ответы

1. Нет.

2. Т = 0, 0012 сек.

3. а) сила перпендикулярна и направлена к центру; б) сила имеет составляющие по скорости и перпендикулярно скорости; в) сила имеет составляющие против скорости и перпендикулярно скорости.

Сила есть сила сухого трения.

4. Т = mg = 5,92 кг.

5. V = .

6.

При tg  < k сила F_TP = mg sin 

При tg   k сила трения F_TP = mg cos 

1.7.2.3. Колебательное движение точки.

Вопросы для домашнего задания.

1. Пример. Грузик массы m, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной l, отклонили от вертикального положения на небольшой угол  и отпустили. Определить характер и параметры движения. Рис.98 а,б

Уравнение движения грузика

Ускорение грузика имеет две составляющие: центростремительную, равную и составляющую по касательной к окружности, которая изменяет величину скорости. Рассмотрим проекцию уравнения на касательную к окружности. Так как длина дуги S = l, то проекция уравнения движения по направлению вдоль касательной ma_S = -mg sin S/l. Для малых углов sin S/l = S/l и уравнение движения вдоль направления S принимает вид

Решением этого уравнения является

S = S sin )

Таким образом, грузик совершает гармонические колебания с частотой и с периодом Т = .

2. Вопрос. При какой длине маятника l период колебаний будет равен 1 сек.

3. Вопрос. Чему равен период колебаний Т математического маятника длины l = 1 м?

4. Вопрос. В неподвижной кабине лифта качается маятник. Вследствие обрыва кабина начинает падать с ускорением g. Как ведет себя маятник относительно кабины лифта, если в момент обрыва троса он: а) находился в одном из крайних положений; б) проходил положение равновесия.

5. Вопрос. В кабине лифта подвешен маятник, период колебаний которого, когда лифт неподвижен, равен Т₀: а) каков будет период Т колебаний маятника, если лифт станет опускаться с ускорением, равным 3/4 g; б) с каким ускорением  нужно поднимать лифт для того, чтобы период колебаний маятника был равен 1/2 Т.

6 . Вопрос .В кабине самолета подвешен маятник. Когда самолет летит без ускорения, маятник качается с частотой ₀: а) какова будет частота  колебаний маятника, если самолет летит с ускорением _y, направление которого образует с направлением вниз по вертикали угол .

7. Найти период колебаний грузика m в данных конструкциях. Жесткость пружин К₁ и К₂.(рис.99)

Ответы к вопросам

2. l = 0,248 м.

3. Т = 2,006 сек.

4. а) маятник остается неподвижным; б) маятник равномерно вращается.

5. Т = 2Т₀;  = 3g.

6.  = ₀

7. а) b) Т = ; в) T = .

1.7.2.4. Импульс, момент сил и момент импульса материальной точки

А) Импульс

1.Пример. Считая, что спутник Земли движется по круговой орбите, найти приращение импульса  и приращение модуля импульса P спутника за время 3/4 Т, где Т - период обращения. R - радиус Земли.

Рис.100

 = -mV₁ ; где V₁ = (gR₃)^1/2 ; P=0.

2. В процессе столкновения тела со стенкой известен закон силы, с которой стенка действует на тело:

при t < t₁, = 0, t₁  t  t_2; = F₀ ;при t > t₂ ; =0

Начальный импульс тела Найти: а) конечный импульс тела и изобразить его на рисунке; б) импульс P_{C ,}переданный стенке телом

1. P₂= P₁+ F₀(t₂- t₁ ) ; b) = -F₀ (t₂ -t₁)

Рис.101

3. Пример. Грузы, массами m₁ и m₂ начинают движение в момент времени t = 0. Найти: а) импульсы тел и к моменту времени  после начала движения; б) импульс системы к этому моменту; в) среднюю за время  реакцию <R> оси блока. Считать бок невесомым, нити нерастяжимыми, трением в оси блока пренебречь.

а) == ;

б) = + = ;

в) = (m₁ + m₂) + < > ; .

Б) Момент сил

4. Пример. Сила, приложенная к частице, имеет вид . Чему равен момент этой силы относительно оси Z, если точка приложения силы имеет координаты х = 4,2 м, y = 6,8 м, z = 0.

Момент силы равен нулю.

Действительно, по определению момент силы относительно точки О равен , где ={r_x, r_y, r_z}, a = {F_x, F_y, F_z}

= (r _yF_z - r_z F_y ) + (r_z F_x - r_x F_z ) + ( r_x F_y - r_y F_x ) = M_x + M_y + M_z

По условию момент силы относительно оси Z это M_Z,

где M_z = ; так как (2, 1; 3, 4; 0), а (4, 2; 6, 8; 0),

то М_z = (4, 2  3, 4 - 6, 8  2,1) нм = 0

5. Вопрос. Сила, приложенная к частице, имеет вид Чему равен момент силы относительно точки O' с радиус-вектором , если известно, что ее момент относительно начала координат (точка О) (н м).

6. Вопрос. Сила F = 1 н приложена к вершине куба со стороной а = 0,2 м и вдоль его ребра. Найти моменты силы относительно точек 0, 1, 2, 3, а также момент М_z относительно пространственной диагонали, направление которой задано единичным вектором l.

Рис.102

В) Момент импульса

Момент импульса относительно точки О по определению

(r_x , r_y , r_z); = (P_x , P_y , P_z)

7.Вопрос. Частица массы m движется в положительном направлении оси х. Найти ее момент импульса относительно точек O и O’. Точка O’ имеет координаты (О_, - а_,О).

Рис.103

8. Вопрос. Частица массы m движется со скоростью на расстоянии от оси Z. Чему равен импульс частицы М_x?

9. Вопрос. Найти момент импульса спутника Земли массы m = 1 т, движущегося по круговой орбите радиуса r = 1,1 R₃, относительно центра орбиты.

10. Вопрос. Частица, положение которой относительно начала отсчета декартовой системы координат (точка.О) дается радиус-вектором (-2,1, -5) (м) имеет импульс (1, 2, 3) кг м/сек. Определить: а) момент импульса М₀ частицы относительно точки О; б) моменты импульса М_x, М_y и М_z относительно осей x, y, z.

137