1.7. Темы семинарских занятий.

1.7.1.Кинематическое описание механического движения материальной точки

1.7.1.1. Основные величины:

1.Пример. В данный момент времени две частицы, выпущенные из одного источника, имеют следующие координаты (размерности опущены) (рис.66):

первая - x₁ = 4, y₁ = 3, z₁ = 8;

вторая - x₂ = 2, y₂ = 10, z₂ = 5.

Записать радиусы-векторы обеих частиц в данный момент времени и определить расстояние между частицами.

Рис.66

2. Пример. Положение частиц в данный момент времени характеризуется следующими радиус-векторами:

Определить координаты частиц и изобразить положения частиц на чертеже. Определить расстояние между перовой частицей и третьей, и расстояние между второй частице и четвертой.

3. Пример. Точка за время t перешла из положения с радиус-вектором в положение . Определить: 1) вектор перемещения частицы за время t, 2) модуль вектора перемещения за время t, 3) изобразить радиус-векторы частицы в моменты времени t и t на рисунке и на этом же рисунке изобразить вектор перемещения.

4. Пример. Точка движется в пространстве по закону

а) (t) = (3 - 5t) + (4 + 2t²) +

б) (t) = 5t - (3 - t²) -t .

Как изменяются координаты точки по времени?

5. Пример. Точка движется по закону (t) = 2t + 5t . Определить траекторию движения точки. Закон движения точки задан. В проекциях на оси он имеет вид x(t) = 2t y(t) = 5t. Исключив время, получим y = 5/2 х - траектория движения точки - прямая линия.

6. Пример. Точка движется по закону (t) = 2t + 3t² .

Определить траекторию движения точки.

7. Пример. Определить среднюю и мгновенную скорости точки и и модуль средней скорости, если она движется по закону (t) = 3t + 5t .

По определению

8.Пример. Начальная скорость частицы , а конечная . Найти приращение скорости и модуль приращения скорости | |

; |V| = .

9. Пример. На рис.67 изображен график V = f(t) для частицы. Найти путь, пройденный частицей за 100 секунд.

Рис.67

S = |V_i| t = (70-50) сек 10м/сек = 600 м

10. Пример. В момент t₁ = 0 автомобиль движется на восток со скоростью

V= 48 км/час. Через одну минуту автомобиль движется на север с той же скоростью. Чему равно среднее ускорение?

, где (рис.68)

.

Рис.68

11. Пример. Точка движется по закону Чему равно мгновенное ускорение точки?

По определению

.

1.7.1.2. Кинематические принципы суперпозиций

1.Пример. За время t₁ точка переместилась на , а за время t₂ = t₁ + t₃ точка переместилась на Найти перемещение точки за время t₃ Показать на риc.69.

Рис.69

По условию . Следовательно, (рис.69)

.

2. Пример. Собака бежит за велосипедом и лает. За время t велосипедист переместился на величину , а собака - на

а) показать перемещение велосипедиста относительно собаки

б) показать перемещение собаки относительно велосипедиста собаки

Рис.70 а Рис.70 б

a) = + б) = +

откуда

а) = - б) = -

3. Пример. Скорость катера А - , скорость катера В - . Катера движутся по озеру. 1) Найти скорость катера А относительно катера В ( ).

2) Найти скорость катера В относительно катера А ( )

1) = + 2) = +

= - = -

Рис.71 а Рис.71 б

4. Пример: По вагону поезда, идущего со скоростью идет человек. Радиус-вектор, характеризующий положение человека относительно станции , а относительно вагона . Как связаны координаты человека в этих двух системах отсчета.

Y

1.7.1.3. Законы движения

1 .Пример. Тело движется с постоянной скоростью (V_x, V_y). Записать закон движения тела, если в момент времени t = 0 радиус-вектор (0, y₀). Определить траекторию

= + t

x(t) = V_x t

y(t) = y₀ + V_y t

Рис.73

Траектория y = y₀ + (рис.73)

2. Пример. Камень брошен вверх с начальной скоростью V₀ из точки, находящейся на высоте Н от поверхности Земли. Определить скорость камня в момент падения на Землю и максимальную высоту камня.

при h = h_max V(t|_h=max ) = 0

t=

h(t = ) = h_max = H + V₀( ) +

h_max = H +

В момент падения на землю h(t_K) = 0

V(t_K) = V - gt_K = - .

3. Пример. С башни высотой Н брошен камень с начальной скоростью , направленной под углом  к горизонту. Определить дальность полета камня и скорость его в момент падения на землю

Рис.74

В соответствии с выбранной системой координат

V_x = V₀ cos 

V_y = V₀ sin  - gt

Искомая дальность S равна координате х в момент падения, т.е. S = x_n при t = t_n где tn - время полета камня. Тогда S = V_0n cos 

-H = V₀ t_n sin  -

Решение дает для t

4. Пример. Лодка, имеющая скорость V₀ спускает парус в момент времени t₀, но продолжает двигаться. Во время этого движения произведены измерения скорости лодки, которые показали гиперболическую зависимость скорости от времени (1/t). Показать, что ускорение лодки было пропорционально квадрату ее скорости.

Пользуясь этими условиями, найти зависимость:

1) пути S, пройденного лодкой от времени,

2) скорости лодки от пути, после того, как на лодке был спущен парус.

По условию , при этом V_{0 =} , т.е.

S = V₀ t₀ ln ( ) = V₀ t₀ ln ( ); V = V₀ exp (- ); S > 0

1.7.4.Вращательное движение материальной точки

1. Пример. Частица движется равномерно по часовой стрелке по окружности радиуса R, делая за время  один оборот. Окружность лежит в плоскости xy, причем центр окружности совпадает с началом координат. В момент t = 0 частица находится в точке с координатами х = 0, y = R. найти среднее значение скорости точки за промежуток времени

а) от 0 до /4; = 4/ R ( - )

б) от 0 до /2; = -4/ R

в) от 0 до 3/4; = -4/3 R ( + )

г) от 0 до ; = 0

д) от /4 до 3/4. = -4/ R

2.Пример. Обруч катится по горизонтальной плоскости со скоростью ₀ без проскальзывания. Определить мгновенные скорости точек обода А, В, С, Д

Рис.75

Согласно принципу суперпозиции скоростей cкорость любой точки обода . При отсутствии проскальзывания нижняя точка А обруча, касаясь плоскости, неподвижна относительно ее, потому _A = 0, т.е.

для проекции на ОХ: 0 = V₀ – V_A^, т.е. ^₌ V₀.

Таким образом, V_A = 0, V_B = 2 V₀,, V_D = V_C = V₀.

3.Пример. Диск радиуса R катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. В некоторый момент известны скорость и ускорение его центра. Показать на рисунке в этот момент ускорение верхней точки диска.

Рис.76

4.Пример. Колесо радиуса R катится без скольжения по горизонтальной дороге со скоростью V₀. Найти горизонтальную компоненту V_x линейной скорости движения произвольной точки на ободе колеса, вертикальную компоненту V_y этой скорости и модуль полной скорости для этой же точки. Найти значение угла  между вектором полной скорости точек на ободе колеса и направлением поступательного движения его оси.

Рис.77

V_x = V₀ (1 + cos ) = 2V₀ cos /2

V_y = -V₀ sin 

V_полн = 2V₀ cos /2

 = -arctg (tg /2) = -/2/

5.Пример. Колесо радиуса R равномерно катится без скольжения по горизонтальному пути со скоростью Найти координаты х и y произвольной точки А на ободе колеса, выразив их как функции времени t или угла поворота колеса  полагая, что при t = 0  = 0 x = 0 y = 0

x = R ( - sin ) = R ( t - sin  t), y = R(1 - cos ) = R(1 - cos  t)

где  = t и  = V/R.

Рис.78

6. Пример. Найти длину полного пути каждой точки колеса между двумя ее последовательными касаниями полотна дороги.

В примере 4 найдено, что V_полн = 2 V₀ cos /2, т.е.

V_полн = 2 R cos /2

dS = V_полн dt = 2 R cos /2 dt = 2 R cos /2 d.

Так как угол между двумя последовательными касаниями одной точкой дороги изменяется от 0 до 2, то

S = 2 2R = 8R.

7. Пример. Найти горизонтальную и вертикальную компоненты вектора ускорения произвольной точки на ободе колеса. Указать величину и направление вектора полного ускорения точек, лежащих на ободе колеса. Колесо катится равномерно и без проскальзывания.

a_гориз = sin ; a_верт = cos 

При равномерном вращении полное ускорение всегда направлено к центру.

1.7.1.5 Кинематическое описание колебательного движения точки

1.Пример. Построить графики зависимости от времени (х) смещения, (V) скорости и (а) ускорения при простом гармоническом колебании. Найти соотношение между амплитудами смещения скорости и ускорения.

х₀ - амплитуда смещение

V₀ - амплитуда скорости

а₀ - амплитуда ускорения

V₀ =  х₀

а₀ = ² х₀ = V₀ 

2.Пример. Горизонтальная платформа совершает в вертикальном направлении гармоническое колебание x = a cos  t. На платформе лежит шайба из абсолютно неупругого материала.

а) При каком условии шайба будет отдаляться от платформы, если ² > g

б) В каком положении находится и в каком направлении движется платформа в момент отрыва от нее шайбы:

В момент отрыва шайбы платформа движется вверх от среднего положения (x > 0 V > 0)

в) На какую высоту h будет подниматься шайба над ее положением, отвечающем среднему положению платформы, в случае, если а = 20 см и
 = 10 гц.

h = = 25 см.

1.Вопрос. Зависимость координаты от времени t имеет вид:

а) х = a₁ cos  t + a₂ sin  t; б) x = a sin²  t в) x = at sin  t;