практикум_механика (1) (Физический практикум по механике (лабник)), страница 3

Значения коэффициента в зависимости от вероятности Р.

Пусть класс точности прибора . Это значит, что возможная ошибка в показаниях прибора составляет 0.2% от предельного значения его шкалы. Если этот прибор – вольтметр со шкалой до 300 В, то погрешность буде составлять .

Если класс точности прибора не указан, но известна цена деления его шкалы, т.е. значение измеряемой величины, соответствующее наименьшему делению шкалы, то за величину абсолютной погрешности прибора может быть принята половина цены деления шкалы. Так, если цена деления гальванометра , то за величину абсолютной погрешности можно принять .

При измерениях величин штангенциркулем, на котором есть надпись “0.1 мм”, следует считать, что ошибка округления и приборная ошибка штангенциркуля равны 0.1 мм. При использовании микрометра следует считать, что они равны 0.01 мм.

В последнее время в лабораторном практикуме находят широкое применение цифровые приборы. Они обладают высокой точностью, поэтому для оценки погрешности предлагается пользоваться эмпирической формулой (если данные из паспорта не приведены в описании к установке):

где – результат измерения, – значение младшего разряда прибора. По этой формуле можно рассчитывать, например, погрешности электронных таймеров и секундомеров.

5) Определение погрешности при однократных измерениях.

В случае однократных измерений погрешности часто определяются приборной ошибкой . Очевидно, чем меньше величина отсчета по прибору, тем больше относительная погрешность отсчета, поэтому рекомендуется выбирать для измерения приборы таким образом, чтобы можно было производить отсчеты по возможности ближе к концу его шкалы.

Пример 1. Определение абсолютной ошибки прямых измерений при малом числе измерений (

Для определения периода колебаний маятника студент Иванов решил непосредственно измерить время t одного полного колебания (произвести прямое измерение). Он провел серию из прямых измерений периода колебаний с помощью секундомера. и получил следующие результаты, которые занес во вторую графу таблицы 4:

Таблица 4.

Далее обработка результатов измерений проводится в следующем порядке.

1. По формуле (5) вычисляется среднее арифметическое значение , результат записывается в таблицу.

2. По формуле (6) определяется отклонение каждого отдельного измерения от среднего , то есть . Затем проверяется симметричность распределения ошибок измерения путем алгебраического суммирования ошибок. В нашем случае .

3. По формуле (7) производится определение случайной погрешности .

4. Определяем приборную ошибку. Так как измерения проводились при помощи секундомера, то приборную ошибку можно определить как цену наименьшего деления секундомера, т.е. в нашем случае (c).

5. Полная погрешность измерения записывается в виде (см. формулу (3)): . (В данном примере не учитывалась систематическая ошибка и ошибка округления).

Согласно формуле (4) окончательный результат представляется в виде , Р = 0,95, а относительная ошибка или , согласно формуле (4).

Такой алгоритм вычисления погрешности измерений вполне применим в лабораторном практикуме, так как студенты, как правило, проводят 3 - 5 измерений.

Пример 2. Определение абсолютной ошибки прямых измерений при большом числе измерений (

Используя условия аналогичные примеру 1, оценим погрешность измерений по формулам при большом числе измерений. В этом случае в таблице изменим последний столбец.

Таблица 5.

Далее обработка результатов измерений проводится в следующем порядке.

Пункты 1 и 2 такие же, как и в примере 1.

3. Вычисляются квадраты отклонений и заносятся в четвертую графу таблицы 5.

4. По формуле (10) определяется выборочное стандартное отклонение .

5. Из Таблицы 2 для доверительной вероятности и для объема выборки (количества измерений) находим коэффициент Стьюдента . Далее по формуле (11) определяется доверительный интервал для случайной погрешности среднего арифметического значения : .

5. Погрешность округления можно определить по формуле (13): .

6. Определяем абсолютную систематическую ошибку прибора (секундомера) по формуле (15). Так как , а младший разряд прибора равен 0,1, то .

7. Полная погрешность измерения записывается в виде (см. формулу (3)): .

6. Согласно формуле (4) окончательный результат представляется в виде , Р = 0,95, а относительная ошибка или .

3.4. ПРАВИЛА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

С косвенными измерениями мы встречаемся тогда, когда интересующая нас физическая величина не может быть измерена непосредственно, а является некоторой функцией величин, определяемых прямым методом. Пусть физическая величина y определяется как функция других величин , измеряемых прямым путем, т.е. связана с расчетной формулой

При этом величины независимы (т.е. не выражаются друг через друга) и измеряются независимым образом. В общем случае наиболее вероятное значение величины получается подстановкой в формулу (167) средних арифметических значений величин

.

Для всех величин доверительная вероятность Р одна и та же.

Погрешность определяется по формуле

где – абсолютные погрешности в определении величин , – частные производные функции по аргументу , вычисленные при .

Средняя квадратичная ошибка функции нескольких переменных также может быть найдена по формуле аналогичного типа

.

Относительная погрешность определяется как

В Таблице 6 приведены формулы для расчета абсолютной и относительной ошибок для различных математических операций.

Таблица 6.

Формулы для расчета абсолютной и относительной ошибок
для различных математических операций.

Пример 3. Обработка результатов косвенных измерений.

Для определения периода колебаний маятника студент Петров решил измерить время t, за которое маятник совершает колебаний и рассчитать период по формуле . Данная формула является уравнением косвенных измерений, следовательно, Петров проводит косвенные измерения периода. Петров провел серию из прямых измерений времени пятидесяти колебаний с помощью секундомера и получил следующие результаты, которые занес во вторую графу таблицы 7:

Таблица 7.

Далее обработка результатов измерений проводится в следующем порядке.