2-12157-1424688438-14 (Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, Коши), геометрический)
Описание файла
Документ из архива "Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, Коши), геометрический", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "2-12157-1424688438-14"
Текст из документа "2-12157-1424688438-14"
№14. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, Коши), геометрический смысл.
Теорема Ролля: Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на отрезке и значение функции на концах отрезка совпадает, т.е. , тогда существует хотя бы одна точка , т.ч. .
Доказательство. 1) Пусть наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке совпадают, т.е. и функция постоянна тогда производная . 2) Пусть функция непостоянна, тогда она достигает на интервале наибольшего и наименьшего значения. Причем функция не может достигать и на концах отрезка, т.к. и функция была бы постоянна. Значит, внутри интервала есть точка экстремума , .
Геометрический смысл. Если все условия теоремы выполнены, то на графике функции существует точка , через которую проходит касательная к графику функции, параллельно оси x.
Теорема Лагранжа: Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на отрезке , тогда существует точка , т.ч. .
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию непрерывную на отрезке , дифференцируемую хотя бы на отрезке : . Тогда , а , т.е. выполнены все условия теоремы Ролля и существует , т.ч. . Следовательно, , .
Из теоремы Лагранжа следует формула конечных приращений: .
Геометрический смысл. - угла наклона секущей (хорды), стягивающей точки и графика . - угла наклона касательной к графику функции , через точку касания . Если все условия теоремы Лагранжа выполнены, то касательная проходящая через точку , параллельна секущей (хорде), точки и графика .
Теорема Коши: Пусть функция и непрерывны на отрезке , дифференцируемы хотя бы на отрезке , , тогда существует точка , т.ч. .
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию непрерывную на отрезке , дифференцируемую хотя бы на отрезке : . Тогда , , т.е. выполнены все условия теоремы Ролля и существует , т.ч. . Следовательно, , .