6.5.1. Критерий Гурвица

Существует несколько алгоритмов, позволяющих проверить устойчивость полинома

∆(s) = a₀sn + a₁ s^{n -1} +... + a_n-1s + a_n, не вычисляя его корни. Прежде всего, для устойчивости все коэффициенты a_i (i = 0,...,n) долж­ны быть одного знака, обычно считают, что они положительные. Это необходимое условие ус­тойчивости полинома. Однако при n > 2 это условие недостаточно, если полином имеет ком­плексно-сопряженные корни. Поэтому были разработаны необходимые и достаточные условия (критерии) устойчивости полиномов.

Один из самых известных критериев - критерий Гурвица - использует матрицу H_n раз­мером n×n , составленную из коэффициентов полинома ∆(s) следующим образом:

• первая строка содержит коэффициенты a ₁,a₃,a₅,... (все с нечетными номерами), остав­шиеся элементы заполняются нулями;

• вторая строка содержит коэффициенты a₀,a₂,a₄,... (все с четными номерами);

• третья и четвертая строка получаются сдвигом первой и второй строк на 1 позицию впра­во, и т.д.

Например, для полинома пятого порядка (n = 5 ) эта матрица имеет вид 6.5.1. Критерий Гурвица

Существует несколько алгоритмов, позволяющих проверить устойчивость полинома

∆(s) = a₀sn + a₁ s^{n -1} +... + a_n-1s + a_n, не вычисляя его корни. Прежде всего, для устойчивости все коэффициенты a_i (i = 0,...,n) долж­ны быть одного знака, обычно считают, что они положительные. Это необходимое условие ус­тойчивости полинома. Однако при n > 2 это условие недостаточно, если полином имеет ком­плексно-сопряженные корни. Поэтому были разработаны необходимые и достаточные условия (критерии) устойчивости полиномов.

Один из самых известных критериев - критерий Гурвица - использует матрицу H_n раз­мером n×n , составленную из коэффициентов полинома ∆(s) следующим образом:

• первая строка содержит коэффициенты a ₁,a₃,a₅,... (все с нечетными номерами), остав­шиеся элементы заполняются нулями;

• вторая строка содержит коэффициенты a₀,a₂,a₄,... (все с четными номерами);

• третья и четвертая строка получаются сдвигом первой и второй строк на 1 позицию впра­во, и т.д.

Например, для полинома пятого порядка (n = 5 ) эта матрица имеет вид

(a0>0)

Критерий Гурвица. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы n-1 главных определителей матрицы H_n были положительными.

Для n = 5 речь идет об определителях

D ₁ = a ₁ > 0, D₂

a₁ a₃

a₀ a₂

>0, D ₃

a₀ a₂ a₄ 0a₁ a₃

>0, D ₃

>0

a₁ a₃ a₅

Метод гармонической линеаризации нелинейностей.

МГЛ предназначен для приближенного определения параметров периодических решений нелинейных САР (НСАР) любого порядка. Рассматриваемый метод является мощным средством исследования НСАР в смысле простоты и довольно большой универсальности его аппарата в применении к самым разнообразным нелинейностям. Вообще-то имеются определенные ограничения применения МГЛ, однако для большинства НСАР они несущественны.

Пусть нелинейный элемент НСАР описывается выражением Y=F(x) (1), где F – любая нелинейная функция. На вход этого элемента поступает гармонический сигнал

(2)

Тогда (3). Обозначено .

Разложив выходной сигнал (1) при учете (2) в ряд Фурье, получим (4)

Для часто встречающихся случаев постоянная составляющая разложения в ряд Фурье отсутствует (5)

Положив из (2) и (3) и , формулу(4) при условии (5) можно записать в виде (6) для неоднозначных нелинейностей и (7) для однозначных.

Итак, нелинейное выражение (1) при заменяется выражением (6) или (7), которое с точностью до высших гармоник аналогично линейному. Эта операция и называется гармонической линеаризацией. Здесь коэффициенты гармонической линеаризации

(8)

постоянны при постоянном «а » (а – амплитуда входного гармонического сигнала).

Ф изический смысл гармонической линеаризации состоит в следующем. Рассмотрим сначала однозначную нелинейность (7) и опустим из рассмотрения высшие гармоники . Это выражение ≈ заменяет нелинейную характеристику Y=F(x) прямой линией Y=q(a)x в диапазоне изменения амплитуды от –a до +a. При другой амплитуде входного сигнала a₁, будет другой коэффициент q(a₁) и, значит, другой наклон прямой линии (чем больше «a », тем меньше угол наклона). Отличие от обычной линеаризации (которая была в I ч. ТАУ), в том, что при обычной линеаризации наклон прямой был постоянен при любом входном сигнале, а при гармонической линеаризации входной сигнал – гармоника и угол наклона зависит от амплитуды этой гармоники.

Для неоднозначных нелинейностей (см. (6) без учета высших гармоник) первое слагаемое правой части также характеризует замену нелинейной характеристики Y=F(x) прямой линией Y=q(a)x с наклоном, зависящим от амплитуды «a » выходного гармонического сигнала. Второе же слагаемое, зависящее от q’(a) (которое всегда отрицательно), означает, что фаза сигнала на выходе гармонически линеаризованного элемента будет отставать от фазы на входе. Величина этого отставания тоже зависит от «a ».

В чем основное отличие движения нелинейных САР от линейных?

НСАР называется такая система, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением.

Процессы в НСАР имеют целый ряд весьма существенных особенностей, которые не встречаются в линейных системах. Благодаря этим существенным особенностям даже вопрос об устойчивости системы становится здесь более сложным. Кроме структуры системы значений ее параметров для устойчивости того или иного установившегося процесса имеют значение здесь, в отличие от нелинейных систем, также и начальные условия. Возможен новый вид установившегося процесса – автоколебания, т.е. устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой при отсутствии внешних колебательных воздействий. Когда в системе возникают автоколебания, то установившееся состояние, соответствующее постоянному значению регулируемой величины, часто становится невозможным.

Следовательно, в общем случае на плоскости параметров системы могут быть не два вида областей (устойчивости и неустойчивости), как в линейных системах, а больше: 1) область устойчивости равновесного состояния с постоянным значением регулируемой величины; 2) область устойчивых автоколебаний; 3) область неустойчивости системы; 4) области, соответствующие другим, более сложным случаям (зоны застоя области с различной топологией фазовых траекторий, разделяемые сепаратрисами и т.д.).

Если процессы в системе имеют вид, указанный на рис. а), то равновесное состояние системы (х=0) неустойчиво. В том случае, когда оба указанных на рис .а) колебания в переменных процессах стремятся к одной и той же амплитуде и частоте, система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой «а ».

На рис. б) показан случай, когда равновесное состояние (х=0) системы устойчиво «в малом», т.е. при начальных условиях, не выводящих отклонения в переходном процессе за определенную величину «а », и неустойчива «в большом», т.е. при начальных условиях, выводящих отклонения в переходном процессе за пределы величины «а ». здесь граничным процессом является неустойчивый периодических процесс собственного движения системы с амплитудой «а » (переходные процессы расходятся от него в обе стороны).

На рис. в) показали случай трех возможных установившихся состояний: 1) равновесное состояние (х=0), 2) колебания с постоянной амплитудой а_{1, 3)} колебания с постоянной амплитудой а₂. При этом колебания с амплитудой а₁ неустойчивы. В результате система будет устойчива «в малом» по отношению к равновесному состоянию х=0, а «в большом» система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а₂.

Устойчивость линейных САР. Признаки устойчивости. Запасы устойчивости линейных САР.

На любую систему автоматического регулирования всегда действуют различные внутренние и внешние возмущения, которые могут нарушить ее нормальную работу. Правильно спроектированная САР должна устойчиво работать при всех возмущениях. Под устойчивостью понимают способность системы возвращаться с определенной точностью к состоянию равновесия после устранения причин, выведенных систему из состояния равновесия.

Для пояснения смысла, понятия устойчивости положения равновесия системы, удобно воспользоваться следующим примером. Пусть имеется некоторая чаша, поставленная дном вниз (рис. IV. 1.а)Н а дне чаши в положении равновесия 1 находится тяжелый шарик, который приложенный внешней силой может быть отклонен в положение 2. В определенный момент времени, принимаемый за нулевой, внешняя сила убирается. Шарик, предоставленный сам себе, из положения 2 устремится вниз, и по инерции проскочит положение 1. Затем, достигнув наивысшего положения, уже справа от точки 1, шарик снова будет двигаться вниз. Совершив несколько колебательных движений, шарик из-за наличия сил сопротивления остановится с некоторой точностью в положении равновесия 1, т.е. согласно определению имеет место устойчивость положения равновесия для краткости обозначаемая литерой У.

Рассмотрим теперь случай (рис. IV. 1В), когда чаша поставлена дном вверх. Шарик снова находится в положении равновесия 1 и если к нему не прикладывать никаких сил, то в этом положении он будет находиться сколь угодно долго. Если же некоторой внешней силой переместить шарик в положение 2, а затем убрать эту силу, то шарик удалится от положения 1 на бесконечно большое расстояние и никогда в него не вернется. Такое положение равновесия называется и обозначается У.

Рис. IV. 1с изображает случай нейтрального положения равновесия или границы устойчивости. Если шарик, находящийся на горизонтальной поверхности в положении 1, с помощью внешней силы переместить в положение 2, а затем убрать эту силу, то шарик останется положении 2 до тех пор, пока к нему не будет приложена новая внешняя сила. Случай нейтрального положения равновесия, можно обнаружить и на рис. IV. 1а, если там не существует сил сопротивления. В этом случае шарик будет совершать незатухающие колебания вокруг положения равновесия 1.