7 - 2 Специальный раздел (Программное средство исследования динамики движения автомобиля), страница 2

Выражения (2.13), (2.14), (2.15) позволяют найти составляющие уравнений кинематических связей (2.12) при и .

Коэффициент относительного проскальзывания s_x вычисляется как отношение скоростей

( 2.16 )

Проскальзывание автомобильного колеса относительно дороги связано с необратимыми и вредными затратами энергии, идущими на тепло, износ трущихся деталей, шин и так далее. Полезная работа, совершаемая двигателем, свяана с определимой по (2.10) касательной реакцией, входящей в уравнение продольного движения автомобиля.

2.3 Разработка математической модели учета реакции связи эластичного колеса с дорожным покрытием при боковом движении

При исследовании важнейших эксплуатационно-технических характеристик автомобиля – управляемости и устойчивости, в дипломном проекте оценены такие характеристики, как избыточная и недостаточная поворачиваемость, курсовая и траекторная устойчивости, устойчивость против опрокидывания, боковое скольжение, критическая скорость и так далее. В целях возможности обобщения результатов исследований и упрощения процесса анализа обычно используют линейное математическое описание движения автомобиля. Однако, такая постановка задачи не всегда может быть оправдана. Действительно, при изучении движения автомобиля на критических режимах, когда наступает курсовая неустойчивость, или, например, боковое скольжение осей автомобиля, зависимость нарастания боковой силы от деформации шины выходит за пределы линейной зоны, где ошибка линеаризации может оказаться существенной.

При описании движения автомобильного колеса использован принцип Даламбера[14], в соответствии с которым внешние силы и моменты, действующие на тело, уравновешиваются силами инерции.

(2.17)

где – приходящаяся на колесо часть массы автомобиля;

y – координата «бокового» движения центра колеса.

Правая часть уравнения (2.17) может быть представлена не только функцией боковой деформации шины, но и угла увода автомобильного колеса.

Широко известная в литературе математическая реализация зависимости боковой силы от угла увода, основанная на замене реальной шины упругой моделью или использовании теории балок на упругом основании приводит к получению сложных, приближенных выражений, к тому же неудобных при решении задачи, связанной с исследованием управляемости и устойчивости автомобиля.

Кусочная аппроксимация (рисунок 2.3) боковой силы от боковой деформации шины или от угла увода неудобна по нескольким причинам. Во-первых, ограниченная возможность использования прямых и кривых различного порядка не гарантирует высокой точности. Во-вторых, усложняется и увеличивается по времени машинный вычислительный процесс, так как для этих вариантов необходима организация дополнительных логических операций. В-третьих, наличие точек разрыва первого рода в месте сопряжения аппроксимирующих функций приводит к появлению скачков производных от аппроксимирующих зависимостей, что вносит существенные погрешности в результат вычислений, где используется процесс дифференциальных функций.

Процесс нарастания боковой реакции R_y в зависимости от боковой деформации шины h_y рассмотрен на рисунке 2.3 . Движение осуществляется в окрестностях точки .

Боковая реакция при этом может быть выражена уравнением[17]

( 2.18 )

где - производная боковой реакции и представляющая собой текущее значение боковой жесткости шины в точке разложения функции[17]

( 2.19 )

После перенесения точки разложения M₀ в точку, близкую к началу осей координат (h_y0), получено практическое определение боковой жесткости шины в эксперименте

( 2.20 )

где T_h – постоянная деформации шины (в случае, когда R_z=const).

Экспериментальная зависимость боковой реакции R_y (рисунок 2.4) от боковой деформации шины h_y носит практически экспоненциальный характер с предельным по сцеплению значением боковой силы, определяемым произведением приходящейся на колесо нормальной силы R_z на коэффициент сцепления  шины с дорогой.

Графически линейная зависимость (рисунок 2.3) представляет собой касательную к кривой R_y=f(h_y) в начале координат. Касательная отсекает на асимптоте от оси координат отрезок, соответствующий величине T_h. Этот отрезок при постоянных значениях температуры, давления в шине, нормальной нагрузки на колесо, практически не зависит от величины бокового смещения колеса и по аналогии с постоянной времени, может быть названа постоянной деформации шины. Линеаризация касательных даже при h_y=T_y дает ошибку более 35 %.

При выводе уравнения движения рассматриваемого звена введена новая переменная , а также учтено следующее[7]:

( 2.21 )

Тогда уравнение движения приняло вид

( 2.22 )

где k_y=1/T_h.

Разделив переменные в уравнении (2.6), получили

( 2,23 )

Интегрируя (2.7), получено

( 2.24 )

Откуда

( 2.25 )

Подставляя, в последнее уравнение, начальные условия получено

В окончательном виде аналитическое решение исходного дифференциального уравнения приняло вид[7]

( 2.26 )

В ряде случаев при подготовке уравнений, описывающих движение автомобиля с существенным проскальзыванием шины относительно опорной поверхности, можно рекомендовать зависимость боковой реакции от боковой деформации, определяемую в виде уравнения (2.10)[17]

( 2.27 )

При этом, боковая сила рассматривается в функции угла увода . В линейной зоне эта зависимость приобретает вид

( 2.28 )

Если на рисунке 2.4, заменить координату h_y на  и T_h на постоянную увода T_, а коэффициент сопротивления уводу рассматривать как отношение

( 2.29 )

то искомая зависимость боковой реакции от угла увода, по аналогии с (2.11) приняло вид

( 2.30)

В области упругих деформаций преимущественно имеет место упругое скольжение, доля фрикционного же срыва составляет малую величину. Функционально зону нечувствительности к фрикционному срыву связано с крутильной деформацией шины (рисунок 2.4)

(2.31)

Показатель степени n можно выбирать в зависимости от желаемой глубины нечувствительности в назначенной зоне. Чем больше величина n, тем меньше влияние фрикционного срыва. Однако при этом несколько расширяется зона его влияния. Обработка ряда экспериментальных характеристик показала, что наиболее оптимальным является значение n=6. В этом случае при =T_ чувствительность к скольжению сокращается до 2,5 %, а при =5T_ восстанавливается до 95 %.

В свою очередь, изменение величины H в функции V (рисунок 2.4) также подчиняется экспоненциальному закону.

Из анализа графика изображенного на рисунке 2.4 можно записать

( 2.32 )

где _n – установившееся значение удельной продольной силы при V;

T_V – постоянная продольной скорости.

С другой стороны, можно рассматривать как сумму отрезков

( 2.33 )

Из (2.32) и (2.33) следует

( 2.34 )

Приращение удельной продольной силы, характеризующее потерю сцепных свойств шины с дорогой, получено из (2.35) и (2.38)

( 2.35 )

Уравнения (2.11) и (2.14) достаточно хорошо описывают процесс нарастания боковой реакции в зоне упругого скольжения.

Наряду с этим, следует заметить, что в этих уравнениях не учитывается важное свойство, связанное с потерями сцепных свойств, представленное формулой (2.19) которая может быть использована в оценке бокового движения. Для этого (2.11) записано в виде уравнения удельной боковой силы _y, полученного путем деления его на вертикальную реакцию R_z. Одновременно из результата вычтено приращение удельной боковой силы, связанной с потерей сцепных свойств _y

( 2.36 )

где _y=R_y/R_z.

Прежде, чем решать совместно уравнения (2.36) и (2.35), заменили скорость V продольного движения автомобиля на скорость u, определяемую из выражения

( 2.37 )

Необходимость такой замены объясняется переходом к общему случаю движения автомобильного колеса, включающему и продольное, и боковое движения.

Исключив из (2.36) и (2.35) приращение _y результат относительно боковой реакции колеса записано в виде . ( 2.38 )

Такие же преобразования проделаны с (2.30) и решены совместно с (2.35)

. ( 2.39 )

Уравнение (2.38) может быть использовано совместно с уравнениями связей, из которых определяется боковая деформация h_y. Второе уравнение (2.39) пригодно в том случае, когда из уравнений связей определяется угол увода .

В случае неустановившегося бокового и продольного движения автомобиля нормальная нагрузка на колесе изменяется в широком диапазоне. При этом существенно изменяются характеристики шины, в частности, коэффициент сопротивления боковому уводу k_y. Если представить зависимость k_y=f(R_z) в виде полинома n-й степени, то на основании выражения (2.33) записано

( 2.40 )

Зависимость T_h=f(R_z) получена с учетом (2.4)

( 2.41 )