Основные теоремы подобия (Электронные лекции)

ПАХТ

Лекции.

------------------------------

Лекция №1.

Лекция №2.

Условие однозначности включает:

1) геометрические размеры,

2) физические свойства среды,

3) граничные условия, характеризующие данный процесс,

4) начальные условия системы.

Основные теоремы подобия.

Два физических явления называются подобными, если величины, характеризующие одно явление, могут быть получены из соответствующих величин другого путём умножения на одинаковый во всех точках множитель, называемый коэффициентом (критерием) подобия.

Подобные явления – это явления, полностью повторяющие друг друга в различных масштабах. Согласно III теореме подобия Кирхгофа-Гухмана, необходимым и достаточным условием подобия является описание их одной и той же системы дифференциальных уравнений и соблюдение условий однозначности.

Подобие и условие однозначности включают:

а) геометрическое подобие систем,

б) временное подобие,

в) подобие физических величин, характеризующих процесс,

г) подобие граничных и начальных условий.

Геометрическое подобие.

Соблюдается тогда, когда отношение всех свойственных размеров двух сравниваемых систем одинаковы.

Временное подобие.

Соблюдается тогда, когда отношение между сходственными интервалами времени сохраняет постоянное значение. Сходственные интервалы – это интервалы, в течении которых завершается аналогичная стадия рассматриваемых процессов.

Временное подобие процессов называется гомохронностью. Если , то процессы – синхронные.

Точно также подобие физических величин соблюдается тогда, когда отношение значений физических величин для подобных процессов в сходственные моменты времени является величиной постоянной.

Подобие граничных условий означает, что соотношение всех величин на границе является постоянным.

Таким образом, для соблюдения подобия необходимо и достаточно найти и выбрать условие, при которых умножение переменных на постоянный множитель не меняло бы уравнение.

,

, , ,

,

Этот пример показывает, что выбор множителей преобразования для величин в подобном процессе не может быть произвольным.

Подобные:

- критерий Ньютона

На практике используется следующая схема получения критерия подобия:

1. Все члены уравнения делят на один из них.

2. Вычёркивают символы дифференцирования, степени переменных дифференцирования сохраняют.

Таким образом, представление о теореме подобия позволяет установить условие экспериментальных работ, при которых число необходимых опытов минимально. Определить наименьшее число величин, которые нужно измерить и установить области, на которых можно распространить полученные результаты.

Анализ размерности можно применять только тогда, когда в результате теоретического анализа или проведения эксперимента удаётся установить параметры, существенно влияющие на процесс.

Пример: течение жидкости по трубе.

(*)

Количество чисел подобия можно найти по установленной функциональной зависимости с помощью π - теоремы, которая гласит:

Если общая функциональная зависимость, связывающая собой n размерных величин, при составлении которых использовано m первичных единиц измерения, то эта функциональная зависимость может быть представлена в виде уравнения подобия, содержащего n-m чисел подобия, составленных из величин, входящих в общую функциональную зависимость.

(*) , , , , , , , (кг, м, с).

, где - коэффициент пропорциональности.

2

Рузанов Леонид М-33 2006/2007

Учебные материалы на domovionok.narod.ru