МА_ДЕМО 2013 (Математика), страница 2
Описание файла
Файл "МА_ДЕМО 2013" внутри архива находится в следующих папках: Математика, ЕГЭ. Документ из архива "Математика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "абитуриентам" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МПУ. Не смотря на прямую связь этого архива с МПУ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "абитуриентам" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "МА_ДЕМО 2013"
Текст 2 страницы из документа "МА_ДЕМО 2013"
Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий части 2 зависит от полноты решения и правильности ответа.
Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.
В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.
При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.
С1
а) Решите уравнение .б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
Решение.
б) Корни уравнения изображаются точками и , а корни уравнения — точками и , промежуток изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: , и .
Другие решения пункта б).
б) Корни, принадлежащие промежутку , отберем по графику . Прямая (ось ) пересекает график в единственной точке , абсцисса которой принадлежит промежутку .
Прямая пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат (см. рис.). Так как период функции равен , то эти абсциссы равны, соответственно,
В промежутке содержатся три корня: .
б) Пусть . Подставляя , получаем . Промежутку принадлежит только .
Пусть . Подставляя , получаем: . Промежутку принадлежат только .
Промежутку принадлежат корни: .
б) Отберем корни, принадлежащие промежутку .
Пусть Тогда . Корень, принадлежащий промежутку : .
Корень, принадлежащий промежутку : .
Корень, принадлежащий промежутку : .
Промежутку принадлежат корни: .
Содержание критерия | Баллы |
Обоснованно получены верные ответы в п. а) и в п. б) | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в п. а), но обоснование отбора корней в п. б) не приведено или задача в п. а) обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п. б) приведен обоснованный отбор корней | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
С2
Сторона основания правильной треугольной призмы равна , а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы.Решение.
Обозначим середину ребра (см. рисунок). Так как треугольник равносторонний, а треугольник – равнобедренный, отрезки и перпендикулярны . Следовательно, – линейный угол двугранного угла с гранями и .
Возможны другие формы записи ответа. Например:
Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или метода координат.
Содержание критерия | Баллы |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
С3
Решите систему неравенствРешение.
1. Неравенство запишем в виде . Относительно неравенство имеет вид: , откуда получаем: , .
2. Второе неравенство системы определено при
то есть при и .
При допустимых значениях переменной получаем: , , , , .
С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: .
Содержание критерия | Баллы |
Обоснованно получен верный ответ | 3 |
Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений конечных точек найденных промежутков | 2 |
Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Комментарий. Если обоснованно получены оба ответа: и , после чего лишь сказано, но никак не обосновано, что , то такое решение оценивается в 2 балла.
С4
На стороне BA угла , равного , взята такая точка D, что и . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.Решение.
Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.
Заметим, что точка не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от неё до точки A.
Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и находим, что PE = .
Так как OA = R и , получаем: , следовательно, .
Из прямоугольного треугольника OQE, в котором , находим:
В результате получаем уравнение:
Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение R2 – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня: R1 = 1, R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка (см. рисунок б).
Ответ: 1 или 7.
Другое решение.
Пусть точка касания окружности с прямой лежит на луче (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей
Пусть – точка пересечения луча и перпендикуляра к , проведённого через точку . Из прямоугольного треугольника находим:
Таким образом, точка удалена от точек , и на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, – центр искомой окружности, а её радиус равен 1.
Пусть теперь точка касания окружности с прямой лежит на продолжении за точку (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку перпендикулярно , пересекает прямую в точке , а окружность вторично – в точке . Тогда
Если – радиус окружности, то . По теореме о двух секущих , то есть , откуда находим, что .
Ответ: 1 или 7.
Возможны другие формы записи ответа. Например:
А) 1, 7;
Б) радиус окружности равен 7 или 1.
Содержание критерия | Баллы |
Обоснованно получен верный ответ | 3 |
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок | 2 |
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
С5
Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.
Решение.
a) при : , а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии ;
б) при : , а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.
Все возможные виды графика функции показаны на рисунках:
Рис. 1
Рис. 3 |
Рис. 2
Рис. 4 |
2. Наименьшее значение функция может принять только в точках или , а если – то в точке .
3. Наименьшее значение функции больше 1 тогда и только тогда, когда