Лекция 5 (Шесть лекций)

Лекция 5. Физические и математические основы оптической обработки информации

1. Понятие оптического сигнала.

В оптических системах обработки информации под оптическим сигналом понимается распределение амплитуды и фазы световой волны в различных плоскостях оптической системы, перпендикулярных к ее оси и описываемое двумерной функцией координат.

Скалярное поле в точке на плоскости с координатами (x,y), создаваемое монохроматическим источником света можно описать выражением:

(1.1)

Функция U(x,y,t) - скалярная функция координат и времени, числено равная мгновенному значению напряженности электрического поля световой волны E(x,y,t); A(x,y) - амплитуда колебаний напряженности электрического поля, а (x,y) – фаза световой волны в точке (x,y); f – частота колебаний.

В комплексной форме этой записи соответствует функция

Величина представляет собой комплексную амплитуду электромагнитного колебания. Эту величину принято называть оптическим сигналом. Временной множитель , являющийся для монохроматического сигнала гармонической функцией времени, обычно опускают, рассматривая в качестве сигнала только стоящую перед этим множителем комплексную функцию координат (далее «точка» при записи комплексной функции будет опускаться).

Понятие транспаранта

Для формирования и ввода в оптическую систему сигнала используются оптические транспаранты, на которые пространственный оптический сигнал записывается с использованием специальной технологии. Оптическим транспарантом называется оптический элемент, устанавливаемый на пути пучка света и осуществляющий заданное преобразование амплитуды и фазы световой волны. Это может быть диапозитив, диафрагма, поляроид, фазовая пластинка и т. п.

Рис. 2.1

Действие транспаранта характеризуется комплексной функцией пропускания T(x,y). При этом распределение амплитуды светового поля после транспаранта будет иметь вид (рис.2.1):

S_T(x,y) = S(x,y)·T(x,y) (1.2)

Различают амплитудные (например, щели, сетки, диафрагмы), фазовые (призмы, линзы) и амплитудно-фазовые (светофильтры, голограммы, линзы с амплитудной маской) оптические транспаранты.

2. Математический аппарат методов обработки информации

2. 1. Преобразование Фурье

Значительная часть оптических методов обработки информации основана на использовании преобразования Фурье.

В основе анализа Фурье лежит разложение сигнала в частотный спектр.

Частотный спектр одномерных сигналов

В курсах математики доказывается, что любую периодическую функцию f(t) периода T можно представить в виде дискретного ряда Фурье

где – круговая частота n-ой гармонической составляющей, C_n – комплексная амплитуда n-ой гармоники

Совокупность коэффициентов C_n называют спектром функции f(t); при этом | C_n | есть амплитуда гармоники частоты ω_n, arg C_n – относительный фазовый сдвиг.

Пример 1. Периодическая функция f(t) и ее спектр.

Рис. 2.1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов (а), ее спектр
на интервале –, +, (b) и спектр по положительным частотам (с).

В общем случае, когда функция f(t) не является периодической, она может быть представлена по теореме Фурье в виде непрерывного набора гармонических колебаний с различными частотами.

(2.3)

(2.4)

Соотношения (2.3) и (2.4) называются обратным и прямым Фурье-преобразованием соответственно. В общем случае спектр F(ω) оказывается непрерывным.

Пример 2. Одиночный прямоугольный импульс длительности t и амплитуды A.

Рис. 2.2. Спектр одиночного прямоугольного импульса.

Полуширина «главного максимума» функции F(ω) равна ω= 2π/ t .

По аналогии с преобразованием Фурье для одномерного сигнала можно определить преобразование Фурье для двумерного оптического сигнала:

Обратное преобразование Фурье: (2.3)

Прямое преобразование Фурье (2.4)

где f_x и f_y – пространственные частоты светового распределения вдоль координат x и y соответственно, – пространственный двумерный спектр Фурье. Пространственные частоты f_x и f_y имеют размерность [м^-1].

Представление двумерных функций интегралом Фурье можно рассматривать как их представление в виде бесконечного набора (когерентной суперпозиции) элементарных функций вида с комплексной амплитудой (вес в разложении) . Данная элементарная функция описывает простейшее - гармоническое - распределение амплитуды поля в плоскости (x,y) с периодом L, равным:

Прямое преобразование Фурье удобно обозначать как действие оператора интегрирования на заданную функцию Ф{ }, а обратное преобразование Фурье – как действие оператора Ф^-1{ }:

– обратное преобразование Фурье (2.5)

– прямое преобразование Фурье (2.6)

2.2. Свойства преобразования Фурье

1) Изменение масштаба: растяжение координат в пространственной области приводит к их сжатию в области пространственных частот.

Ф{ }= (2.7)

2) Смещение (сдвиг): смещение функции в пространственной области приводит лишь к дополнительному сдвигу фазы в частотной области, а модуль фурье-образа остается неизменным.

(2.8)

3) Формула Парсеваля: энергия может быть подсчитана как в пространственной, так и в частотной областях

(2.9)

Понятие свертки функций

Понятие корреляции функций

Корреляционная функция показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией – чем больше значение корреляционной функции, тем это сходство сильнее.

Пусть даны два сигнала, описывающиеся функциями s₁(t) и s₂(t)

Корреляционная функция (функция взаимной корреляции) этих двух сигналов определяется выражением:

(2.12)

Корреляция обозначается символом

(2.13)

Если функция сравнивается сама с собой, то функцию r_s(t) называют автокорреляционной функцией

(2.14)

Взаимная корреляция и свёртка взаимосвязанны:

(2.15)

4) Теорема свертки.

Свертка двух функций U(x,y) и H(x,y) записывается в виде:

(2.16) или (2.17)

Теорема свертки утверждает, что преобразование Фурье от свертки функций равно произведению фурье-образов этих функций.

(2.18)

Согласно обратной теореме свертки: Фурье-образ произведения двух функций равен свертке Фурье-образов этих же функций: (2.19)

5) Теорема автокорреляции

Преобразование Фурье от операции автокорреляции функции равно квадрату модуля Фурье-образа этой функции:

(2.20)

3. Дифракция света

Дифракция в первоначальном смысле - огибание волнами препятствий, в современном, более широком смысле - любые отклонения при распространении волн от законов геометрической оптики.

Причина дифракции, как и интерференции, - суперпозиция волн, которая приводит к перераспределению интенсивности. Если число интерферирующих источников конечно, то говорят об интерференции волн. При непрерывном распределении источников говорят о дифракции волн.

Для решения задачи дифракции света используется формула Кирхгофа.

4. Линза – как оптический элемент, осуществляющий преобразование Фурье

Основными компонентами оптических систем обработки информации являются тонкие сферические линзы, выполняющие двухмерное преобразование Фурье.

Рис. 4.1. Схема оптической системы, осуществляющей преобразование Фурье

Если на вход такой системы (рис. 4.1) поступает оптический сигнал U₀(x₀,y₀), то на выходе появляется сигнал U(x_f,y_f), связанный с входным сигналом следующим соотношением (при d = F):

(4.1)

Из сравнения выражения (4.1) с (2.4) видно, что интеграл в выражении (5.1) есть Фурье-преобразование функции U₀(x₀,y₀) с пространственными частотами:

. (4.2)

Таким образом, выходной сигнал с точностью до постоянного множителя совпадает с фурье-образом входного сигнала. Поэтому выходную плоскость такой системы называют частотной или фурье-плоскостью.

Следует отметить, что фурье-образ входного оптического сигнала существует в виде физичеcки реального пространственного распределения комплексных амплитуд светового поля. Благодаря этому когерентные оптические системы могут быть эффективно использованы для решения широкого круга задач, связанных с получением, преобразованием и обработкой фурье-спектров, корреляционных функций и сверток.

5. Принцип пространственной фильтрации оптических сигналов.

Метод оптической пространственной фильтрации – это один из основных методов обработки оптических сигналов.

Рассмотрим оптическую схему рис. 5.1.

В передней фокальной плоскости линзы помещен транспарант 1 с записью какой-либо функции S(x,y). Транспарант освещается когерентным излучением. Линза 2 выполняет прямое преобразование Фурье. В ее задней фокальной плоскости 3 формируется пространственный спектр сигнала S(x,y).