Балки (Конспект лекций 4302), страница 5

M_q=y_max[1+(l-x-d)/(l-x)]P. (18.60)

Момент в сечении х от равномерно распределенной нагрузки q (рис. 18.19,а)

M_q = qlx/2—qx²/2. (18.61)

Суммарные моменты в сечениях от сосредоточенных сил и равномерной на­грузки

M_∑ = M_P+M_q. (18.62)

Результаты подсчетов по формулам (18.60), (18.61) и (18.62) представлены на рис. 18.19,в, г, д. Таким образом, расчетное значение момента для балки составляет

М_∑ = 430 кН∙м=0,43 МН∙м.

Требуемый момент сопротивления балки для этого момента равен

W_Tp = М_∑/[σ]_р =0,43:160 = 0,002688 м³ = 2688 см³.

Производим построение линии влияния поперечной силы (рис. 18.19,е). Ординаты Q для различных сечений х составят:

х 0 0,1l 0,2l 0,3 l 0,4 l 0,5 l

Q 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

Определим расчетные усилия от сосредоточенных сил в каждом из указан­ных сечений с учетом того, что одна из них располагается над вершиной линии влияния:

т. е.

Q_p=[1 + (l -_x-d)/( l -x)]P. (18.63)

Поперечные силы Q_q от собственного веса q равны

Q_q=ql/2—qx. (18.64)

Суммарные значения поперечных сил от сосредоточенных и равномерно рас­пределенных нагрузок

Q_∑ = Q_p + Q_q. (18.65)

Результаты подсчетов представлены на рис. 18.19,ж, з, и. 226

Определив расчетные усилия, переходим к нахождению наименьшей высо­ты балки из условия нормы жесткости fmax/ l = 1/500 при сосредоточенных гру­зах Р. При определении требуемой высоты следует учесть, что по условию прогиб ограничен лишь в отношении нагрузки Р. Так как напряжение от сум­марного момента М_∑ =430 кН∙м достигает [σ]_р, то напряжение от момента М=350 кН∙м, вызванного сосредоточенными грузами, будет составлять 0,8[σ]_р. Это напряжение следует брать вместо [σ]_р при определении требуемой высоты балок h.

Прогиб балки от двух сосредоточенных сил Р, расположенных симметрично в пролете (рис. 18.20,а),

f=Ра1²[1-4/3(а/1)²]/(8E l). (18.66)

г)

в)

Рис. 18 20. К примеру расчета сварной балки l =16 м:

а - определение высоты балки h из условий жесткости; б - подобранный профиль балки-

в - расположение горизонтальных связей; г - учет местного влияния сосредоточенной си-

лы; б — к расчету поясных швов; е — расстановка ребер жесткости

Подставив Ра=М, получим

f=M l ²[1-(4/3) (а/1)²/(8Е l).

(18.67)

Если выразить М в формуле (18.67) через напряжение, 0,8[σ]_р, вызванное сосредоточенными силами и умноженное на момент сопротивления W=2I/h, то

f=1,6[σ]_рР[1-(4/3)(а/ l)²]/(8E l), ₍₁₈.₆₈₎

откуда требуемая высота балки из условий жесткости

h/ l =0,8[σ]_p l [l-(4/3)(a/ l)²]/(4E l)=0,8-160-500[l-(4/3)(7/16)²]/(4∙2,1∙10⁵) = 0,0567,

или h=0,912 м.

Чтобы определить требуемую высоту балки из условия ее наименьшего се­чения, нужно задаться толщиной вертикального листа. Можно воспользоваться рекомендуемым приближенным соотношением

S_в=√10h/12,5 = 7,6 мм.

Примем S_в = 8 мм.

Требуемая высота из условия наименьшей массы по формуле (18.8)

h= 1,3√0,43/(8∙160∙10^-3) =0,75 м.

Так как требуемая высота, найденная по формуле (18.68), больше, чем вы­сота, найденная по формуле (18.8), то ее и следует принять в расчет при под-

227

боре сечения. Высоту вертикального листа h_B принимаем равной 90 см, а вы­сота балки h=92 см (рис. 18.20,6).

Требуемый момент инерции поперечного сечения сварной балки двутавро­вого профиля

Iтр=W_трh/2 = 2688-46=123 648 см⁴.

Момент инерции подобранного вертикального листа 900X8 мм

I_в = 90³-0,8/12 = 48 600 см⁴. Требуемый момент инерции горизонтальных листов балки (поясов)

Iг = Iтр—Iв=75 048 см⁴. Момент инерции горизонтальных листов записывается в виде

Ir=2[I₀+Fr(h/2)²].

Таким образом, требуемое сечение одного пояса балки равно

F_г ≈ Iг/2[I₀+Fr(h/2)²] = 75 048/(2-45,5²) = 18,1 см².

Принимаем сечение горизонтального листа 180X10 мм.

Определим уточненное значение момента инерции подобранного поперечного сечения балки:

I= 90³-0,8/12 + 2 (I³-18/12 + 1 • 18-45,5²) = 48 600 + 74 532 = 123 132 см⁴. Наибольшее нормальное напряжение в крайнем волокне балки

σ_max = ^M/_I y_max = (0.43/123132∙10^-8)*0.46 = 160.7 MПа

Расчетное напряжение превышает допускаемое на 0,5%, что вполне допу­стимо.

Определим касательное напряжение на уровне центра тяжести балки в опор­ном ее сечении по формуле τ=QS/(/s_b):

S= 18-45,5 + 0,8-45²/2=819 + 8Ю = 1 629 см³;

Q= 113,75 кН;

= 19 МПа

τ=

0,11375-1629-Ю-⁶

123 132-Ю-⁸-0,8-Ю-²

Определим эквивалентные напряжения в сечении, в котором наибольший изгибающий момент М=0,43 МН-м и поперечная сила Q = 43,7 кН. Эквивалент­ные напряжения вычисляются на уровне верхней кромки вертикального листа в зоне резкого изменения ширины сечения. Вычислим в этом волокне балки на­пряжения от момента М:

= 3,65 МПа,

Is

σ_i,=Мhв/(2l) =0,43-0,92/(2-0,00123132) =157,2 МПа.
В этом же волокне напряжение от поперечной силы Q

QS 0,0437-819-Ю"⁶

Xi =

0,00123132-0,8-Ю"²

Здесь 5=18-1 -45,5=819 см³ — статический момент площади сечений горизон­тального листа относительно центра тяжести.

Эквивалентное напряжение определяется по формуле

σ_экв = √

( а²₁ + 3 τ ²₁ )= 157,4 МПа,

что меньше наибольшего нормального напряжения в крайнем волокне.

Рассмотрим, как обеспечить общую устойчивость балки. Бели ее не закре­пить в горизонтальной плоскости, то потребуется значительное уменьшение до-

228

пускаемых напряжений. Поэтому следует предусмотреть закрепления от воз­можных перемещений верхнего пояса, например установить горизонтальные связи.

Зададимся расстоянием между закреплениями lо=(10-20)b, например 2,7 м (рис. 18.20,в). По формуле (18.26),

α = 8 (270∙1 / 18∙92)² (1 + 90∙0.8³ / 2∙18∙1³ ) = 0.49

По графику, приведенному на рис. 18.5, пользуясь интерполяцией, определяем коэффициент ψ при a = 0,49, коэффициент ψ= 1,79.

Момент инерции балки относительно вертикальной оси равен

l=0,8³ • 90/12+2∙18³∙1/12=976 см⁴.

Коэффициент ψ находим по формуле (18.25):

ψ= 1,79(976/123 132) (92/270)2∙10³= 1,64.

Коэффициент ψ>1,55. Это значит, что при расчете можно принять ф=1. Устойчивость балки при наличии закреплений на расстоянии l₀=2,7 м обес­печена.

Чтобы обеспечить устойчивость вертикального листа, следует приварить к нему ребра жесткости. Зададимся расстоянием между ними α==l,5/h_B = l,35 м. В этом случае следует знать следующие величины:

1. Нормальное напряжение в верхнем волокне вертикального листа. Оно было определено раньше: σ_{= 157,2 МПа.

2. Среднее касательное напряжение т от поперечной силы. В середине про­лета Q = 43,7 кН; среднее напряжение

τ =Q/(/HbSb)=0,0437/(0,9∙0,8∙10-²)=6,06 МПа.

3. Местное напряжение σ_м под сосредоточенной силой (рис. 18.20,г). Это
напряжение находим по формуле (18.22), принимая m =1:

σ_M = P/(S_Bz).

Для определения z по формуле (18.23) подсчитаем l_п — момент инерции верхне­го пояса с приваренным к нему рельсом. Примем сечение рельса 50x50 мм (рис. 18.20,5). Ордината центра тяжести сечения пояса и рельса относительно верхней кромки пояса равна

у=(—18 ∙1∙0,5+6 • 5 • 2,5) /(18 ∙1∙4-5 • 5) == 1,2 см.

Положительное значение указывает на то, что центр тяжести расположен выше верхней кромки пояса.

Определим сначала момент инерции относительно оси, совпадающей с верх­ней кромкой пояса (эта ось параллельна центральной оси):

I_п=5³∙5/3+1³∙18/3 = 214,3 см⁴.

Теперь найдем момент инерции относительно оси Хо, проходящей через центр тяжести сечения пояса с рельсом (F=43 см²):

Iп=I^αп – Fy² = 152,4 см⁴.

Вычислим условную длину по формуле(18.23):

z=3,25√152,4/0,8 = 18,7 см. Из формулы (18.22) находим с_м от Р=о0 кН:

σ_м=0,05-1/(0,008-0,187)=33,4 МПа. Для проверки правильности постановки ребер жесткости (рис. 18.20,е) надлежит выяснить три вспомогательные величины: 1) σо по формуле (18.33):

σ₀ = 75-10³-0,8-Ю-³/0,9 = 667 МПа;