Балки (Конспект лекций 4302)

БАЛКИ

§ 1. Общие сведения о балках, схема расчета.

Наиболее часто применяют сварные балки двутаврового и ко­робчатого (рис. 18.1) профилей. Двутавровые балки хорошо со­противляются изгибу в плоскости своей наибольшей жесткости, коробчатые — изгибу в разных плоскостях и кручению.

Рис. 18.1. Типы поперечных сечений сварных коробчатых балок.

Поперечные сечения балок иногда изменяются по длине. В не­которых случаях изменяют толщину или ширину горизонтальных листов (рис. 18.2,а). Это более целесообразно, нежели изменять толщину вертикальных листов. Применяют балки с переменной высотой вертикальных листов (рис. 18.2,б). Иногда горизонтальные пояса делают составными по тол­щине, если толщина пояса s≥30—35 мм; при этом в менее нагружен­ных участках число листов уменьша­ют (рис. 18.2,в).

Рис. 18.2. Балки с изменяю­щимся поперечным сечением:

а — по толщине листов; б — по высоте; в — по числу листов в по­ясах.

Балки переменного сечения позво­ляют лучше использовать несущую способность металла по всей их дли­не. Они дают экономию металла в сравнении с балками постоянного про­филя, значительная часть которых ра­ботает при напряжениях, значительно меньших допускаемых. В технологи­ческом отношении балки переменного профиля несколько сложнее. Вопрос выбора конструкций решается с эко­номических позиций, а иногда и с уче­том общей компоновки и эстетики. Большинство типовых балок имеют профиль, постоянный по длине.

При расчете балок встречаются с тремя видами задач.

1. Заданы размеры балки, извест­ны расчетные усилия — изгибающие моменты и поперечные силы. Требуется проверить прочность бал­ки. В этом случае определяют нормальные и касательные напря­жения.

2. Заданы балка и допускаемые напряжения. Требуется опре­делить допускаемую нагрузку на балку. Эта задача также легко решается с использованием общеизвестных формул из курса «Со­противление материалов».

3. Требуется спроектировать балку, обеспечивающую требуе­мую грузоподъемность. Эта задача решается следующим образом: от заданной нагрузки определяют опорные реакции, строят эпюры поперечных сил Q, изгибающих моментов М по длине и крутящих моментов, если последние имеют место.

При наличии подвижных нагрузок строят линии влияния опор­ных реакций, затем Q и М для сечений x=0, х=0,1l; x=0,2l и т. д. до x=0,5l, где l — длина балки [5]. В указанных сечениях вычис­ляют максимальные значения усилий при самом опасном для них положении подвижных нагрузок. После этого подбирают размеры поперечных сечений балки, обеспечивающие прочность. Из условия прочности расчетные напряжения не должны превышать 1,05[σ]_р. При экономном подходе к расходу металла расчетное напряжение должно быть больше 0,95[σ]_р, где [σ]_р— допускаемое растяги­вающее напряжение для основного металла.

Расчет жесткости и прочности

Балка должна удовлетворять требованию жесткости, т. е. ее прогиб f_max от наибольшей нагрузки не должен превышать пре­дельно допускаемого. Обычно в балках предельное значение отно­шений f_max/l регламентируется нормами. Норма жесткости для балок разных назначений различна, например в подкрановых бал­ках f_max/l≤l/600÷1/700; в главных балках междуэтажных пере­крытий f_max/l≈1/400.

Чтобы удовлетворить требованиям жесткости, балка должна иметь высоту не менее некоторой предельной. Эта минимальная высота определяется видом нагружения и допускаемыми напря­жениями. Рассмотрим, какова должна быть наименьшая высота балки, свободно лежащей на двух опорах, если она нагружена рав­номерной нагрузкой (рис. 18.3,а).

Расчетный прогиб

f=5ql⁴/(384EI), (18.1)

где EI— жесткость балки.

Для рассматриваемой балки расчетный момент

M = ql²/8. (18.2)

Подставляя значение М в формулу (18.1), получим

f=5Ml²/(48EI). (18.3)

Изгибающий момент

M=[σ]_pW, (18.4)

где [σ]р — допускаемое напряжение; W—момент сопротивления.

Если расчетное сечение симметрично относительно горизон­тальной оси, то W=2I/h, где h — высота балки.

Подставим значение М из формулы (18.4) в формулу (18.3):

f=5[σ]_pl²/(24Eh), (18.5)

откуда

f/l=5[σ]_pl/(24Eh),

или

h/l=5[σ]_pl/(24Ef). (18.6)

Рис. 18.3. К расчету сварной балки:

изогнутая ось балки от ?; б — поперечное сечение балки; в, г — влияние сосредоточенной силы.

Высота балки, вычисленная по формуле (18.6), является наи­меньшей при заданных [σ]_р и f/l и может быть увеличена, если это диктуется соображениями компоновки конструкции или эконо­мии металла. При других нагружениях и системах балок, напри­мер консольных, многоопорных, с защемленными концами и т. п., в формуле (18.6) изменяется лишь числовой коэффициент. В об­щем случае

h=ψ[σ]_pl²/(Ef_max). (18.7)

Коэффициенты ψ для балок из низкоуглеродистых сталей приведе­ны в табл. 18.1.

Т а б л и ц а 18.1

Балки из стали Ст3 для различных элементов конструкций имеют следующие предельные отношения f_max/l:

Подкрановые балки и фермы:

при ручных кранах………………………………………………………………………………………… 1/500

при электрических кранах грузоподъемностью до 50 т………………………………………………… 1/600

при электрических кранах грузоподъемностью свыше 50 т…………………………………………… 1/750

Монорельсовые пути…………………………………………………………………………………………… 1/400

Балки рабочих площадок производственных зданий:

главные при отсутствии рельсовых путей………………………………………………………………. 1/400

прочие……………………………………………………………………………………………………… 1/250

при на лиши ширококолейных путей…………………………………………………………………… 1/600

Балки междуэтажных перекрытий:

главные…………………………………………………………………………………………………….. 1/400

прочие……………………………………………………………………………………………………… 1/250

Балки покрытий и чердачных перекрытий:

главные…………………………………………………………………………………………………….. 1/250

прогоные…………………………………………………………………………………………………… 1/200

При действии моментов в двух плоскостях (вертикальной и горизонтальной) высота балки h определяется с учетом напряже­ния от моментов М_х и М_у. Сумма (σ _х+ σ_у) должна быть меньше [σ]_р. Соотношение между σ_х и σ_у устанавливается приближен­но на основе имеющегося опыта проектирования конструкции или, методом последовательного приближения. При этом задаются ожидаемыми отношениями σ_х/σ_у и затем проверяют их правиль­ность повторными расчетами.

Балка должна удовлетворять прочности при условии наимень­шей массы, т. е. поперечное сечение должно быть минимальным.

Высота балки для двутаврового профиля может быть найдена по формуле

. (18.8)

а для коробчатого

, (18.9)

где s_B — толщина вертикального листа.

При проектировании балок толщина s_B в формулах (18.8) и (18.9) неизвестна. Поэтому ее первоначально задают. Для разных строительных конструкций s_B обычно изменяется в сравнительно узких пределах.

Можно принимать

; (18.10)

для тяжелых конструкций

; (18.11)

где s_B и h_B (рис. 18.3,6) выражены в мм.

Значения h, найденные с учетом требований достаточной жест­кости и прочности, а также при условии наименьшей массы, могут оказаться совершенно различными. Из двух значений, вычислен­ных для балки двутаврового профиля по формулам (18.6) и (18.7) или (18.8) и (18.9), следует принять большее и, во всяком случае, не меньшее, чем при вычислении по формулам (18.6) и (18.7). Далее подбирают размеры поперечного сечения балки с уче­том расчетного изгибающего момента М и высоты h.

Рассмотрим процесс подбора сечения двутаврового профиля (рис. 18.3,б). Для этого найдем требуемый момент сопротивле­ния:

W_тр=М/[σ]_р (18.12)

и требуемый момент инерции сечения:

I_тр= W_тр h/2 (18.13)

Вычислим момент инерции I_в вертикального листа высотой h_B к толщиной s_B. Принимаем h_B≈0,95h.

Находим требуемый момент инерции двух горизонтальных ли­стов:

I_г = I_тр - I_В. (18.14)

В другой форме момент инерции выразится так:

(18.15)

где I₀ — момент инерции горизонтального листа относительно соб­ственной оси, который всегда очень мал и может быть принят равным нулю; h₁ — расстояние между центрами тяжести горизон­тальных листов, которое можно принять равным (0,95÷0,98)h.

Из уравнения (18.15) находим требуемую площадь сечения одного горизонтального листа:

F_г = 2I_Г/h²₁. (18.16)

Подобрав размеры поперечного сечения балки, определим на­пряжения и таким образом проверим, удовлетворяют ли подоб­ранные размеры условиям прочности.

Напряжение от изгиба

σ=Mh/(2I)≤[ σ]_p (18.17)

Касательное напряжение от поперечной силы будет

τ=QS/(Is_B)≤[ τ], (18.18)

где Q — наибольшая поперечная сила балки; S — статический мо­мент полуплощади сечения (симметричного) относительно центра тяжести балки (рис. 18.3,6).

Эквивалентные напряжения проверяются обычно в тех случа­ях, когда максимальные значения М и Q совпадают по длине бал­ки в одном сечении. Их определяют на уровне верхней кромки вер­тикального листа:

(18.19)

Здесь нормальное напряжение

σ₁=Mh_В/(2I), (18.20)

и касательное напряжение