книга2 с254-338 (Часть полезной книги), страница 12

найти значения аргументов , при которых функция при-

нимает минимальное значение. Предполагается, что искомый ми­нимум существует и достигается внутри рассматриваемой области. Другими словами ищется вектор

Примером такого рода постановки задач может служить зада­ча оптимизации высоты двутавровой балки. Пусть требуется из условия прочности на изгиб от воздействия момента М подобрать сечение балки в виде сварного симметричного двутавра с высотой стенки h и толщиной листовых элементов изготовленного из материала с расчетным сопротивлением R. Задается отношение высоты стенки к толщине , Ясно, что из условия прочности

можно подобрать много таких сечений с различной высотой. Тре­буется найти такое значение высоты h, при котором поперечное сечение будет иметь минимальную площадь.

Если обозначить через площадь полки и не делать различия между высотой балки и высотой стенки, то площадь сечения балки можно выразить формулой

(23.5)

Площадь полки определяется из условия прочности по формуле

(23.6) При заданном с учетом формул (23.5) и (23.6) площадь

сечения можно выразить через искомый параметр h:

(23.7)

Таким образом, задача сводится к нахождению значения h ми­нимизирующего функцию F, заданную формулой (23.7). Суть та­кого решения сводится к решению уравнения , результа­том которого является равенство

Как правило, практика порождает задачи гораздо более слож­ные, чем рассмотренная выше. Часто возникает необходимость отыскания минимума функции при дополнительных

ограничениях между переменными:

Математическая модель этой задачи записывается в следую­щей форме:

(23.8)

Если из п рассматриваемых переменных переменных,

обозначенных вектором являются

управляемыми, то искомые переменные х*, обеспечивающие мини­мум функции , могут быть найдены из совместного решения т уравнений (23.8) и уравнений:

(23.9)

313

21—201

где

— обратная матрица. Таким образом, и в этом случае задача

сведена к задаче на безусловный экстремум.

Дальнейшее усложнение оптимизационной задачи происходит при введении в нее ограничений-неравенств типа

(23.10) При этом ограничения-неравенства могут быть, могут и отсутство­вать. Задача с ограничениями в форме неравенств является общей задачей математического программирования. Ее математическая формулировка может быть записана в виде

(23.11)

Из общей модели задачи математического программирования получаются различные модели частных задач математического программирования. Если целевая функция и ограничения линейны, то задача (23.11) становится задачей линейного программирова­ния.

Если функция цели нелинейна или нелинейно хотя бы одно из ограничений, это задача нелинейного программирования [15].Сре­ди таких задач особую группу составляют задачи квадратичного программирования, у которых функция цели выражается в виде квадратичной функции искомых параметров, а ограничения — ли­нейные функции. Если к некоторому числу искомых параметров предъявлено дополнительное требование целочисленности, то за­дача такого рода относится к группе задач дискретного програм­мирования [46]. Большинство задач при оптимизации проектиро­вания металлоконструкций сводится, как правило, к форме задач нелинейного и дискретного программирования.

Вводимые в задачу ограничения образуют в пространстве ис­комых параметров так называемую допустимую область

Все конструкции, получаемые при различных значениях параметров, делятся соответственно на допустимые и недопустимые. Для допустимых все ограничения выполняются, для недопустимых выполняются не все ограничения. Та из допустимых конструкций оптимальна, для котор'ой показатель качества имеет 314

экстремальное значение. В задачах оптимизации конструкций, по­казатели качества которых отличаются от оптимального, сущест­вует понятие области решений. Исследование области решений, близких к оптимальному, имеет большое практическое значение. Проектировщик, располагая всеми необходимыми сведениями об этой области, с успехом может выбрать конструкцию, наилучшим образом удовлетворяющую некоторым неформализованным крите­риям и в то же время почти оптимальную в смысле принятого показателя качества.

В качестве критериев оптимизации в задачах могут быть при­няты различные целевые функции: а) минимум массы или объема материала несущих элементов^- конструкции; б) минимум стоимости материала; в) минимум приведенных затрат на изготовление кон­струкции; г) максимум эффективности функционирования проек­тируемой системы.

При линейных целевой функции и ограничениях задачи успеш­но решаются методами линейного программирования [40]. В со­временной практике для решения задач линейного программирова­ния применяется широко известный симплекс-метод. Линей­ные ограничения выделяются в многомерном пространстве в виде многогранника с конечным числом вершин, все точки которого (внутри и на поверхности) составляют допустимую область. Симп­лекс-метод предварительно определяет допустимую точку, лежа­щую на одной из вершин многогранника (опорное решение). Для отыскания оптимального решения используют специальное правило перехода к той соседней вершине многогранника, в которой значе­ние не больше, чем в предыдущей точке. Этот процесс продолжа­ется, пока не будет найдена вершина, в которой значение мини­мально.

Более часто постановка задач при проектировании металлокон­струкций сводится к нелинейным (квадратичным) целевым функ­циям, а ограничения задаются либо в виде неравенства, либо в виде равенств, либо в смешанном виде. Для решения этих задач разработан ряд методов оптимизации.

1. Метод решения задач на безусловный минимум при конеч­ном числе переменных [98]. Идея его сводится к определению

необходимого и достаточного

условий минимума некоторой штрафной функции , которая представляет собой комбинацию

(23.12) составленную из заданной целевой функции и некоторой

штрафной добавки . Добавка построена из уравнений

ограничений, взятых с определенным параметром ц, например

. Минимум функции ищет-

ся при различных значениях параметра определяющего меру
штрафа. Значения штрафных функций, соответствующие безуслов-
21* 315

ным минимумам, полученным при различных значениях парамет­ра ц, образуют последовательность, сходящуюся к точному реше­нию, определяющему точку минимума исходной целевой функции в допустимой области.

2. Метод математического программирования на основе ча­стичной или полной линеаризации исходной задачи [54]. Нелиней­ная целевая функция и нелинейные ограничения заменяются их линейными аппроксимациями в окрестности точки, рассматривае­мой на каждом интервале. Наиболее общий способ линеаризации условий задачи состоит в замене нелинейных функций ограничения членами первого порядка в соответствующих разложениях в ряд Тейлора в окрестности рассматриваемой точки. Далее многократно решается линейная задача: минимизировать

(23.13) при ограничениях

Решение задачи начинается с некоторой исходной точки При заданном решается задача линейного программирования по условию (23.13) и определяется вектор значений

Полученная точка

(23.14)

принимается за исходную, и процесс продолжается до получения решения с заданной точностью. Метод имеет ряд модификаций, связанных с правилом выбора длины шага в формуле (23.14).

Для ряда нелинейных задач достаточно эффективны метод динамического программирования (метод Ф. Беллмана) [15], ме­тоды вариационного исчисления и принцип максимума Понтряги-на [79].

Обычно решение задач на ЦВМ с использованием методов ма­тематического программирования проходит в так называемом ин­терактивном режиме. Человек непосредственно вмешивает­ся в машинный процесс, вносит свои коррективы в решение зада­чи, а ЦВМ используется для решения конкретных вариантов задач линейного и нелинейного программирования. Среди интерактивных методов имеются методы, построенные в режиме диалога. Работа в режиме диалога может быть построена, например, по следующе­му правилу. Составляется некоторая такая задача, что ее решение можно поручить машине. Результаты решения выводятся машиной в обозримом компактном виде на терминалы — дисплей, графопо­строитель, телетайп. Анализируя результаты, человек принимает решение о дальнейшем ходе процесса поиска. Можно осуществить оперативное изменение исходного задания, принять решение о пре­кращении поиска или о выдаче необходимой документации, нако­нец, можно задать дополнительные условия и внести коррективы, относящиеся к направлению процесса поиска.

316

Процедура проектирования металлоконструкций с использова­нием ЭВМ в технике получила название машинного проек­тирования.

§ 3. Системы автоматизированного проектирования (САПР)