книга1 с (Часть полезной книги), страница 15

где — частость.

Среднее значение случайной величины называют также матема­тическим ожиданием. В качестве количественной характеристики распределения случайных величин кроме среднего значения, о кото­ром сказано выше, используют дисперсию D и среднее квадратиче-

261

ское отклонение S:

(11.2)

(11.3)

На участке 65 находится более 99 всех результатов из пар­тии размером п. Чем больше S, тем больше рассеяние значений. Величина 6S характеризует область рассеяния.

При переходе к большим числам п обнаруживается, что распре* деления случайных величин могут быть описаны различными ана­литическими зависимостями. Од­ним из часто встречающихся законов является закон нор­мального васпределения Гаусса (рис. )

(11.4)

где — плотность вероятно­ сти распределения величины х. Если положить S = 1 и перенести кривую на т. е. располо­жить симметрично относительно начала координат, то будем иметь нормированную и центрированную функцию (рис. 11.4, б)

(11.5)

Площадь под кривой нормального распределения равна еди­нице. Вероятность появления величины z<z₀ вычисляется сле­дующим образом:

Вер (11.6)

Дисперсия вычисляется по формуле

(11.7)

В примерах, которые будут рассмотрены ниже, используют кри­вую нормального распределения, однако следует иметь в виду, что могут быть разнообразные законы распределения случайных вели­чин.

При анализе, прочности конструкций в большинстве случаев приходится иметь дело с тремя группами величин: 1) механиче­скими свойствами материалов; 2) геометрическими размерами ,эде-„ ментов сечений, концентраторов напряжений; 3) уровнем действу­ющих нагрузок или напряжений.

§51

Величины в каждой из указанных групп имеют рассеяние. Рас­смотрим, какими вероятностными понятиями следует пользоваться при сравнении между собой механических свойств различных ме­таллов и, в частности, сварных соединений при оценке неравнопроч-ности сварного соединения и основного металла. Ес­ли прочности основного металла и сварного соеди­нения имеют рассеяние (кривые / и 2 на рис. 11.5), то обычная оценка нерав-нопрочности сварного со­единения по отношению не учиты­вает величины рассеяния.

Если в основу сравне­ния положить равную ве­ роятность разрушения, что

означает равенство зачерненных площадей на рис. 11.6, то нера-внопрочность должна оцениваться отношением

(11.8)

Разной вероятности разрушения будет соответствовать разный коэффициент неравнопрочности. Чтобы устранить такую неопре­деленность, целесообразно поль­зоваться стандартным отклоне­нием, а именно 3S. Тогда

(11.9)

При таком методе оценки неравнопрочность обычно бы­вает больше, чем при оценке ее по средним, так как

Уровень прочности конст­руктивного элемента зависит от числа слабых звеньев. На рис. 11.6, а показан пример сосуда с двумя продольными швами / и 2, а на рис. II 6, б— стержень с двумя последовательно распо­ложенными соединениями. Пусть кривая на рис. 11.7, б показы­вает рассеяние прочности Р сварного соединения /. Тогда кривая вероятности неразрушимости одного сварного соединения Н_г изо­бразится, как показано на рис. 11.7, а, сплошной линией. Веро­ятность неразрушимости системы из двух звеньев равна произве­дению вероятностей неразрушимости каждого звена, т. е.

263

Так как каждое соединение 1 и 2 выполняется независимо от другого . в'одинаковых условиях, то прочность каждого сварного соедине­ния является независимой величиной и в данном случае а

Для определения закона распределения прочности системы по известному закону распределения плотности вероятности прочности одного звена (одного сварного соединения) вос-

пользуемся положением, согласно которому плотность вероятности

распределения прочности равна первой производной вероятности неразрушимости. Тогда

(11.11)

На рис. 11.7, в показана кривая , а на рис. 11.7, г— кри­вая (Р) в виде произведения (Р). Если принять (Р) в виде симметричной кривой нормального распределения, то функ­ция (Р) является асимметричной кривой, максимум которой смещен в область меньших значений Р. Средний уровень прочности системы из двух звеньев уменьшается по сравнению с уровнем проч­ности одного звена.

Прочность элемента определяется свойствами металла и сече-ниемэлемента. Например, прочность соединения встык на рис. 11.6,6

(11.12)

где —предел прочности; F—площадь поперечного сечения. Каждая из величин и F имеет рассеяние. Рассмотрим изме­нение Р в зависимости от изменения и F. Среднее значение и, казалось бы, рассеяние величин и F не должны влиять на вероятность разрушимости. Однако дисперсия произ-

264 .,

ведения- двух величин х и у, определяемая по формуле

(11.13)

влияет на вероятность разрушимости при неизменном уровне экс­плуатационной нагрузки.

Пусть МПа; , средние квадратические от­клонения = 30 МПа,. Соответственно дисперсии

= 900, г = 36. Дисперсию прочности найдем по формуле

(11.13) , среднее квадратическое отклонение

Н; Н.

Коэффициент вариации силы — 0,085, что заметно

выше коэффициентов вариации

Влияние среднего квадратического отклонения при неизменном среднем Р на вероятность разрушимости Ф можно видеть из примера на рис. 11.8. Разрушение наступит при где —макси-

мальная эксплуатационная нагрузка. Увеличение рассеяния при переходе от закона распределения плотности вероятности, пока­занного сплошной кривой; к закону, показанному пунктирной кри­вой, при постоянном приводит к росту вероятности разрушимо­сти по сравнению с Ф_ъ которые пропорциональны заштрихо­ванным площадкам:

(11.14)

Конечно, площади поперечных сечений не могут настолько изменяться, чтобы существенно влиять на уровень вероятной раз­рушимости. Однако коэффициенты концентрации напряжений могут оказать чрезвычайно сильное влияние.

Как следует из рис. П.1, , при малых значениях концентра­торы не влияют на прочность, но начиная с определенного уровня снижают ее примерно по гиперболическому закону

(11.15)

• . . 265

Это означает, что если уровень концентрации напряжений огра-: ничен определенным значением то кривая / распределения проч­ности (рис. 11.9) не будет пересекаться с уровнем максимальной эксплуатационной нагрузки Возрастание а выше некоторого

определенного уровня, не изменяя существенно средней величины сильно увеличивает область левой ветви кривой 2. Заштрихо­ванная площадь пропорциональна вероятности разрушения.

Максимальные нагрузки в большинстве случаев не оста-

ются постоянными, а могут изменяться в некоторых пределах. В этом случае, как показано на рис. 11.10, величина имеет

рассеяние. Отношение средней разрушающей нагрузки к сред­ней максимальной нагрузке является в обычном понимании коэффициентом запаса. Однако может существовать некоторая

область, которая перекрывается двумя кривыми, что означает (на рис. 11.10 заштрихована). Вероятность разруши-

мости для этого случая будет равна

а в случае закона нормального распределения и

вероятность разрушения может быть вычислена как интеграл ве­роятности Ф по формуле (11.6), где

здесь и S₂ — средние квадратические отклонения. Значение г₀ тем меньше, чем больше средние квадратические отклонения S_t и S₂, а это означает, что вероятность разрушения Ф при неизменных средних и будет возрастать с увеличением рассеяния Р

и График зависимости Ф от показан на рис. 11.11. В ка­честве коэффициента запаса пои вероятностном методе оценки проч­ности предлагается брать (рис. 11.11). Вероятностные методы в расчетах на прочность находят все большее применение для оценки надежности деталей и конструк­ций. Надежность — это свойство изделия выполнять задан-

266

ные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в заданных, пределах в течение требуемого промежутка времени или тре­буемой наработки. Каждое свойство имеет меру. В области проч­ности чаще всего мерой свойства детали выполнять заданные функ­ции является значение какой-либо характеристики детали в срав­нении с максимально возможной в эксплуатации, т. е. по отноше­нию к конкретной детали это ее фактический коэффициент запаса п. Если речь идет о наличии (п > 1) или отсутствии (п 1) свойства изделия выполнять заданные функции, то по отношению к совокуп­ности изделий применяется понятие вероятности. В этом случае надежность — это вероятность выполнения заданных функций от­дельными изделиями при наличии большого числа однотипных изде­лий, образующих некоторую совокупность. Если же само изделие представляет собой сложную совокупность (систему) отдельных элементов, каждый из которых может вызвать отказ, то надежность в этом случае — это вероятность выполнения системой заданных функций в определенных условиях в течение требуемого периода времени. Применительно к расчетам на прочность, когда необхо­димо, чтобы не наступило то или иное предельное состояние, под, надежностью следует понимать вероятность ненаступления предель-j ных состояний, ограничивающих нормальную работу изделия. |

§ 3. Пути сближения расчетной и конструкционной прочности;

Практика расчетов, проектирования, исследования, изготовле­ния и эксплуатации сварных конструкций накопила большой опыт по обеспечению их надежной работы. Сближение, а в некоторых случаях и совпадение расчетной и конструкционной прочности обеспечиваются системой различных мероприятий. В области расче­та это достигается непрерывным совершенствованием расчетных ме­тодов.

Для более точного совпадения расчетной и конструкционной прочности необходимо выполнение ряда условий.

1. Правильный выбор предельных состояний, по которым про­изводится определение прочности.

2. В пределах каждого из рассматриваемых предельных состоя­ний выбор таких показателей, которые наилучшим образом под­ходят для количественного выражения величины прочности:

3. Применение такого аппарата теории, который бы позволял вычислить запасы прочности или вероятности разрушимости на основе использования простейших характеристик металла.

4. Учет в случае необходимости дополнительных факторов, ко­торые в используемом расчетном методе не являются основными, например схемы напряженного состояния, неоднородности свойств металла, дефектов, собственных напряжений, температуры, харак­тера действующих нагрузок, среды, статистического рассеяния характеристик металла и др.

Использование коэффициентов запаса при правильно выбранных расчетных предельных состояниях является методом назначения