ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК (Темы и ответы на них)

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Пионерской работой по теории информации является статья Р. Хартли 1928 г. В этой статье впервые была предложена логарифмическая мера информации.

Широкий интерес к этой области возник после появления статьи К. Шеннона 1948 г. [20], в которой была отчетливо сформулирована проблематика этой теории, связанная с ко­дированием сообщений. К. Шеннон рассматривает множество слов Аⁿ вместе с распределением вероятностей p(x). Величину

-log p(x) = S(x))

он называет собственной информацией слова, а среднюю величину

H(x)=

энтропией, или информацией источника. В терминах H(x) формулируется и доказывается теорема кодирования в отсутствие шума. Критерием качества кода является средняя длина кодовых слов

.

Для префиксного кода всегда

(следствие неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим), и можно как угодно близко подойти к этой границе, устремляя n  . Для этого нужно упорядочить все слова по собственной информации:

и наименее вероятному слову приписывать слово из префиксного кода, имеющее наибольшую длину. Такой принцип применялся ранее в коде Морзе, а после работы Шеннона стало возможным сравнивать подобные коды по их эффективности. В частности, оказалось, что код Морзе близок к оптимальному.

Были предложены регулярные методы построения оптималь­ных кодов (код Шеннона – Фано, код Хаффмена). В этих методах предполагается, что вероятности сообщений (слов) известны точно. Если статистика не точна или же меняется в процессе передачи, то методы приводят к кодам, далеким от оптимальных. Кодовые слова определяются вероятностной структурой, поэтому кодирование связано с экспоненциальным объемом вычислений.

Когда речь идет об эффективном кодировании отдельных букв с учетом неравномерной частоты их появления, упомянутые методы приводят к очень быстрым и красивым алгоритмам. На практике обычно ставится задача сжатия слова большой длины, причем в исходной постановке ничего не говорится о какой-либо вероятности.

Б.М. Фитингоф [16] обнаружил существование методов ко­дирования источника, устойчивых по отношению к распреде­лению вероятностей. Он предложил упорядочить слова по величине H(x), названной им квазиэнтропией. Эта величина применялась ранее как выборочная энтропия (статистическая оценка для энтропии). Б.М. Фитингоф впервые применил ее как вес, по которому следует упорядочить сообщения. Если слову с наименьшей энтропией приписать кодовое слово наименьшей длины, то получится код, оптимальный для целого класса вероятностных распределений.

При кодировании по методу Фитингофа вовсе не требуется знание статистики сообщений. А если распределение вероятностей меняется, то код по-прежнему остается оптимальным. Энтропия слова H(x) или I₀(х) выполняет при этом ту же функцию, что и собственная информация по Шеннону. В своей следующей статье Фитингоф назвал эту величину информацией слова. Задача кодирования источника была сведена им к нумерации слов одной и той же орбиты.

Реализация этого метода с использованием треугольника Паскаля принадлежит В.Ф. Бабкину. В результате был получен метод кодирования источника полиномиальной трудоемкости. Поскольку упорядоченность по I₀(х) заменяет упорядоченность по вероятности, возникает мысль применить I₀(x) для целей де­кодирования в канале с шумом.

В шенноновской теории декодирование определяется в тер­минах p(x). Декодирование максимального правдоподобия заклю­чается в том, что слово у декодируется в такое слово x на входе, для которого апостериорная вероятность

p(x/y) = p(x, y)/p(y)

максимальна (байесовский подход). Декодер при этом настраива­ется на вероятности, которые известны неточно и могут меняться в процессе передачи.

Абонентам кажется, что декодирование осуществляется оп­тимальным способом, а на самом деле ввиду изменившейся статистики эффективность декодирования давно уже не поддается контролю. Если же для целей декодирования использовать метрику I₀(х/у), то получается декодирование, оптимальное для целого класса распределений вероятностей (устойчивое деко­дирование) [7].

Возникла мысль ввести вместо вероятностного канала с шумом более простую модель – алгебраический канал [7]. Если научиться строить оптимальный код для алгебраического канала, то тем самым будет решена задача построения оптимального кода в вероятностной модели (конструктивное доказательство теоремы кодирования Шеннона).

Впрочем, надобность в вероятностной модели отпадает, пос­кольку теория информации оказывается достаточно интересной и богатой приложениями в алгебраической постановке. Одним из таких приложений является распознавание образов.

Описанный в гл. 2 метод распознавания является развитием хорошо известного подхода М.М. Бонгарда [4]. Когда М.М. Бон-гард создавал свой алгоритм, не было известно, как вычислять информацию одного признака (слова), содержащуюся в другом признаке. Алгебраический подход к теории информации дает естественное решение двух ключевых проблем распознавания образов – определения информативности признаков и кластерного анализа.

Программная реализация описанного метода распознавания была выполнена И.С. Борейко. Ряд специалистов в Московском геологоразведочном институте применили этот метод распозна­вания для решения различных геологических задач [12, 15, 16].

Реляционная модель базы данных была первоначально изло­жена в статье Е.Ф. Кодда [21]. Он обратил внимание на важность понятия функциональной зависимости для целей нор­мализации (декомпозиции). Правила вывода для F-зависимостей были предложены К. Делобелем и Кейси, их полноту доказал Армстронг.

Многозначные зависимости были введены Р. Фейджином. Наиболее полное изложение теории реляционных баз данных содержится в книге Д. Мейера [13] и К. Делобеля и М. Адиба [22].

Для математического описания реляционных баз данных обычно используется язык математической логики, причем созда­ется своя «реляционная алгебра». В то же время речь идет в этой теории об устранении избыточности, так что напрашивалось обращение к теории информации. Традиционная вероятностная теория информации оказывалась при этом далекой от запросов информатики.

Иначе обстоит дело с алгебраической теорией информации. В рамках этой теории основные понятия теории реляционных баз данных получают естественное и простое объяснение. Функ­циональная зависимость оказывается эквивалентной обращению в нуль условной информации (энтропии). Многозначные зави­симости получают прозрачное истолкование в терминах условной независимости слов.

Связь между словами и графами прослеживается во многих работах по теории графов, например в книге К. Бержа [2]. При описании задач поиска и сортировки мы следуем изложению Д. Кнута [10].

Задача построения эйлеровых контуров с использованием остовного дерева была решена Н. де Брейном и др. [18]. При изложении этих результатов в гл. 4 использовались идеи П. Кастелейна и Д. Фоата. При изложении основных алгоритмов на графах мы следуем книге В. Липского [II].

Гл. 5 книги, в которой изучается память слова с помощью циклического сдвига, основана на статье [8].

Мы включили в эту книгу также основные сведения о том, как хранится и обрабатывается в живых организмах генетическая информация с помощью слов, "буквами" которых являются сложные полимерные молекулы. При этом мы следуем изло­жению Ф. Айалы и Дж. Кайгера [1] и книге С.Г. Инге-Вечтомова [9].