RT004KL (Лекции)

Лекция 4

Лекция 4

Связь между преобразованием сигналов и спектров

Запись означает, что сигнал и его спектр однозначно связаны преобразованиями Фурье. В математике известны свойства преобразования Фурье. На основании этих свойств можно установить соответствие между преобразованиями сигналов и соответствующими преобразовании их спектров. На основании свойств преобразований Фурье можно:

• Вычислять спектры сложных сигналов

• Установить, как изменится спектр, если изменится каким-либо образом сигнал.

• Первое свойство: свойство линейности

, где

a и b – это некоторые постоянные.

Например:

Результат сложения этих двух сигналов:

Спектр сигналов:

⇒

Спектр результирующего сигнала: ⇒

• Второе свойство: смещение сигнала во времени

при смещении во времени: ,

При смещении сигнала во времени его амплитудный спектр не изменяется. Изменяется только фазовый спектр.

Н апример:

Амплитудный спектр не изменяется, фазовый спектр изменяется:

• Третье свойство: изменение временного масштаба сигнала

a>0

При изменении временного масштаба происходит обратное изменение частотного масштаба. При сжатии сигнала во времени его спектр расширяется, а при растягивании сигнала его спектр сужается.

• Четвертое свойство: смещение сигнала по частоте

• Пятое свойство: дифференцирование сигнала

• Шестое свойство: интегрирование сигнала

-------------------------------------

Пример 1. Определить для следующей ситуации:

1)

2)

Объединим спектры в один общий:

т.к. , S равняется:

На нулевой частоте амплитудный спектр будет равен нулю!

-------------------------------------

МОДУЛИРОВАННЫЙ СИГНАЛ

Общие сведения

Основная задача радиотехники – передача сообщений на расстояние с помощью электромагнитных волн. До изобретения радиосвязи, были известны способы передачи информации по проводам. Несмотря на все разнообразие передач сообщений у них есть общее свойство – каждое сообщение преобразуется в электрический сигнал, который занимает определенную полосу на оси частот. Звуковые частоты лежат в диапазоне 20 Гц ÷ 20 кГц, однако для удовлетворительного звучания достаточен более узкий сигнал: 20 Гц ÷ 10 кГц.

Возможна одновременная передача различных сообщений нескольким абонентам. Это достигается тем, что каждым двум абонентам выделяется отдельная линия связи – провод. При использовании большого числа проводов осуществляется многоканальная связь. Если бы мы захотели осуществить связь с помощью электромагнитных волн с частотами речи каждого абонента, то разделенный прием сигнала каждого абонента был бы невозможен, т.к. электромагнитные волны будут смешиваться в приемниках абонентов и их невозможно разделить. Кроме того, для формирования электромагнитных волн низкочастотного диапазона потребуются слишком большие антенны – соизмеримые с длинной волны. Такие антенны неудобны в эксплуатации, а их изготовление слишком дорого. Поэтому при передаче сообщений с помощью электромагнитных волн используют различные частоты. Для многоканальной радиосвязи каждому каналу выделяется волна определенной высокой частоты.

“Разнос” сообщений по частоте достигается с помощью модуляции. Для приема любого из передаваемых сообщений приемники настраивают на нужную частоту.

Модуляция – это процесс изменения одного из параметров высокочастотного колебания под воздействием низкочастотного сигнала, отображающего передаваемое сообщение. Высокая частота (ВЧ) – это гармоническое колебание (несущая).

, где

V₀ – амплитуда; ω₀ – несущая частота; φ₀ – начальная фаза. На практике, начальная фаза редко бывает важна и ее обычно принимают равной нулю.

При модуляции один из параметров высокочастотного колебания (ВЧ колебания) изменяются по закону низкочастотного (НЧ) сигнала . Модулированный сигнал занимает некоторую полосу частот около несущей частоты.

Необходимо, что бы выполнялось условие: . Это условие узкополосности сигнала. Каждой радиостанции выделяется своя несущая частота.

Сигналы с амплитудной модуляцией

При амплитудной модуляции (АМ) по закону передаваемого сообщения изменяется амплитуда несущего колебания

, k – коэффициент пропорциональности

На следующих трех графиках поясняется процесс амплитудной модуляции

Для того, что бы огибающая V(t) повторяла форму низкочастотного сигнала нужно, что бы несущая частота была значительно выше частоты модуляции. Ω – частота модуляции.

Ω_MAX – это максимальная частота в спектре модулирующего сигнала.

Тонально-амплитудная модуляция (ТАМ)

Для того, чтобы рассмотреть основные параметры АМ сигнала возьмем в качестве модулирующего сигнала гармонический сигнал.

, где V_m – амплитуда модуляции

, где

- коэффициент амплитудной модуляции.

M≤1 – условие для неискаженной модуляции. Если М > 1, то это явление называется перемодуляцией. Далее показаны примеры АМ при различных коэффициентах М.

Из этого рисунка видно, что модулирующий сигнал при M=1,3 не является синусоидой (или косинусоидой), а это свидетельствует о том, что он искажен.

Спектр сигнала при тональной амплитудной модуляции

Для того, что бы определить спектр сигнала, его надо разложить на гармонические составляющие

Как видно из данного выражения и пояснения к нему, видно, что при ТАМ спектр сигнала состоит из трех гармонических сигналов.

График амплитудного спектра симметричен относительно несущей:

- ширина спектра

Так как - сигнал узкополосный.

Энергетические соотношения сигнала при ТАМ

Сигнал состоит из трех гармонических колебаний и его энергетическая характеристика определяется средней мощностью трех гармонических колебаний:

Как видно из данного выражения, на боковые составляющие, в которых и содержится полезная информация, приходится всего 0,5M² мощности. Это значит, что при передаче АМ сигнала основная мощность передатчика расходуется на передачу несущего колебания, которое не несет никакой информации, а для передачи сообщения используется только малая мощность передатчика.

Вывод: энергетические соотношения АМ сигнала неудовлетворительны.

Многотональная амплитудная модуляция

В действительности, сообщение имеет сложный спектр и представляется в виде

, где

V_n – амплитуды

Ωn – частоты. Условие для частот: Ω₁< Ω₂< Ω₃<… Ω_N<< ω₀

– огибающая

Определим спектр. Спектр определяем также как и при тональной АМ:

, где

, а - парциальные коэффициенты амплитудной модуляции.

Спектр низкочастотного сигнала:

s

ω

Спектр модулированного сигнала:

Спектр сигнала при многотональной амплитудной модуляции отличается тем, что вместо двух боковых составляющих имеем боковые полосы по обе стороны от несущей. Верхняя боковая полоса имеет спектр, который точно повторяет спектр низкочастотного сигнала, а нижняя боковая составляющая зеркально отображена относительно несущей частоты. Каждая из боковых полос содержит одну и туже информацию, что свидетельствует об избыточности передачи информации двумя боковыми полосами.

Ширина спектра ∆ω равна 2ΩN. Полосу частот, занимаемую АМ сигналом можно уменьшить вдвое, если для передачи сообщения использовать одну боковую полосу (есть такое понятие в любительской радиосвязи – передача одной боковой полосой). При этом можно использовать как верхнюю, так и нижнюю боковую полосу. Такой вид амплитудной модуляции называют однополосной. При однополосной передаче в заданном диапазоне частот располагается в два раза больше информационных каналов, чем при двухполосной передаче.

Энергетические соотношения определяются по выражениям:

- основная частота.

Для улучшения энергетической характеристики используют балансную АМ с подавленной несущей.

Амплитудная модуляция довольно неустойчива к воздействию помех.

10