Готовые билеты к РК №1 (Механика, колебания)

Билет 1

Билет 2

Билет 3

Различают М. и. относительно полюса (точки) и относительно оси. М. и. L материальной точки относительно полюса О равен векторному произведению радиус-вектора r, проведённого в эту точку из полюса О, на вектор mv импульса материальной точки (т - её масса, v - скорость): L == [r, mv]. Вектор L направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через векторы r и mv, так что из его конца вращение от r к mv по кратчайшему расстоянию видно происходящим против хода часовой стрелки, (см. рис.). L = mvr sina, где a - угол между векторами г я mv

Билет 4

№4

1) Работа переменной силы. Если сила или равнодействующая сил изменяет свою величину или направление (движение по криволинейной траектории, причем угол α  ≠ 90⁰), то работа  А, совершаемая переменной силой F на конечном участке траектории вычисляется следующим образом. A= , где F(x) – ф-ия зависимости силы от координаты тела.

Кинетическая энергия мех. системы - это энергия мех. движения этой системы. Работа dA силы F на пути, который тело прошло за время изменения скорости от V1 до V2 , идёт на изменение кинетической энергии dT тела, т.е. dA = dT. (т.е. )

2) Проекция вектора момента импульса на некоторую ось z называется моментом импульса частицы относительно этой оси. Единицы измерения Дж*с .

Билет 5

№5

1) Уравнение, описывающее перемещения при свободных незатухающих колебаниях: x’’+₀²x=0 или mx’’=-kx x=A cos(₀t+φ), для собственной частоты колебаний

Гармонический осциллятор – простейшая колебательная механическая система с одной степенью свободы

Другое определение:

Гармонический осциллятор - система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):

2) Моментом силы F относительно неподвижной точки О наз. физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы на силу F. , где М – псевдовектор, его направление совпадает с поступательным движением правого винта при его вращении от r к F.

Модуль момента силы где - угол между r и F, l- плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О).

Моментом силы относительно неподвижной оси z наз. скалярная величина Mz , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определённого относительно производной точки О данной оси z. Mz не зависит от положения т.О на оси z. . Единицы измерения Н*м (=Дж)

Билет 6

№6

1) Кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции на квадрат угловой скорости при:

1.тело вращается вокруг неподвижной оси

2.тело вращается вокруг одной из главных осей инерции

3.тело - шаровой волчок.

2) Фаза колебания - это аргумент гармонической функции: ( ωt + α ). Начальная фаза α - это значение фазы в начальный момент времени, т.е. при t = 0. Измеряется в радианах (рад)

Билет 7

1 )

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z.

2) Единица измерения угловой скорости в СИ — радиан в секунду (рад/с).

Угловой скоростью называется вектор  , численно равный первой производной от угла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения в направлении   (   и   всегда направлены в одну сторону). .

Билет 8

Билет № 8

1)

Если у системы несколько осей симметрии, то центр масс лежит на их пересечении.

Уравнение изменения импульса механической системы.

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости: .

Закон сохранения импульса механической системы.

В замкнутой системе импульс сохраняется.

Другая формулировка: Суммарный импульс замкнутой системы остается постоянным по модулю и направлению, хотя импульс каждого из тел системы может изменяться.

Доказательство:

Рассмотрим механическую систему из N тел, массы и скорости которых соответсвенно равны m1, m2, ..., mN; V1, V2, ..., VN.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из N тел механической системы:

где Fi - равнодействующая внутренних сил i-того тела системы, F - равнодействующая внешних сил i-того тела системы.

Проведем почленное сложение уравнений:

(1)

Рассмотрим левую часть полученного выражения.

= =

где  =  представляет собой суммарный импульс всех тел системы, т.е. импульс системы.

Первый член в правой части выражения (1) представляет собой векторную сумму внутренних сил всех тел системы. По третьему закону Ньютона каждой внутренней силе F'mn соответствует равная ей по модулю и противоположная по направлению сила F'nm, поэтому:

=0.

Выражение   преобразуется к виду:

=

Производная от импульса системы по времени равна сумме внешних сил, действующих на систему.

Если сумма (векторная) внешних сил равна нулю, или внешние силы отсутствуют, то:

, т.е. импульс сохраняется.

2)Угловое ускорение: - физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твердого тела.

Угловое ускорение измеряется в рад/с²

Билет 9Билет №9

1. Потенциальная энергия гравитационного притяжения:

Потенциальная энергия упругих деформаций:

Или :

,

где ;

1. Импульсы механической системы – векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.

Билет 10

Билет № 10.

1. Момент инерции:

1. Стержня:

2. Обруча:

3. Диска:

4. Шара (пустого):

5. Шара (цельного):

Теорема Штейнера: , где d - расстояние от центра масс до оси вращения.

1. Момент импульса – вектором момента импульса относительно точки О называется , где – радиус-вектор из точки О.

Билет 11

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) материальной точки имеет вид  , где   – результирующая сила, действующая на материальную точку массы  ,   – импульс материальной точки.

В случае   основной закон динамики принимает вид  .

2 )моментом импульса механической системы (твердого тела) относительно неподвижной точки О называется вектор L_сист, равный геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы

где n – число материальных точек системы.

[L_сист] =кг·м/с

Билет 12

Б илет 13

Билет 14

1. Вектор моменты силы – производная от момента импульса.

Вектором момента импульса относительно точки О называется вектор , где R – радиус-вектор из точки О, p – вектор импульса точки.

Суммарный момент импульса системы относительно некоторой точки О:

Производная от вектора суммарного момента импульса системы равно векторной сумме моментов сил, действующих на систему.

2) Вектор перемещения – «дельта»R за интервал времени(t1, t2) называется вектор, cоединяющий начальное (в момент времени t1) и конечное (в момент t2) положения точки.

По определению, вектор перемещения равен векторной разности радиус-векторов:

Величиной перемещения называют длина вектора R.

В СИ единицей измерения является метр (м).