Билет №1

3) Три завода

В магазинах №1 – 45% машин, №2 – 40% машин, №3 – 15% (в сумме 100%)

Из них стандартных машин из первого завода 70%, из второго – 80%, из третьего – 81%

Найти вероятность того что купленная машина - стандартная.

P(A)=0.45*0.7+0.4*0.8+0.15*0.81=0.7565=75%

4 )

Билет №2

3) Два стрелка стреляют в цель. Вероятность попадания первого – 0,8 , второго – 0,4. Нужно найти вероят., что первый поразил цель.

Цель поражена:

Цель поражена первым

4) Двумерная случайная величина равномерно распределена в эллипсе Определить

Решение: - совместная плотность распределения.

Билет №3

3) Локатор вращается. - вероятность обнаружения цели за один оборот без помех

- есть помехи , р – вероятность того что помехи создаются. Найти Р(Хотя бы один раз будет обнаружена цель за n оборот. с помехами)

Решение: следствие из ф-лы Бернуллей:

А – обнаруж. цели, Н₁ – помехи создаются, Н₂ – без помех.

; ; по ф-ле полной вероятности

;

-ответ

4)

Решение:

Т К величины независимы и нормально распределены можно расписать по Лаполасу:

Пусть Z=x-y и из условия MZ=MX-MY=0-2=-2

DZ=DX+DY=1+1=2 Следовательно средне квадратич отклон =

P(y<x-2)=P(2<x-y)=P(Z>2)=P(2<Z< ) где a=2 и b= тогда по лаполасу

Билет №4

3) Лампы 0,1 0,2 0,3 0,4 – незав. - приб. Определить вероятность, что выйдут из строя

решение:

4) 2 монеты кидают…… найти коэф корреляции

x\y	0	1	2
0	0	0	1/4
1	0	1/2	0
2	1/4	0	0

решение

х-вероятн выпасть гербу

у-вероятн выпасть цифре

x=2-y отсюда =-1

x	0	1	2
pi	1/4	1/2	1/4

y	0	1	2
pi	1/4	1/2	1/4

Билет №5

3) В цехе 20 станков, типа – 6 штук, типа B - 11, типа С – 3. Вероятность выпустить хорошую деталь для станка А – 0,5 , для станка В – 0,7 , С - 0,9. Каков процент хороших деталей выпускаемых цехом.

Решение: по формуле полной вероятности:

4) Случайная величина , закон распред. . Найти плотность распределения по .

Решение

Билет №6

3) 0,6 – вероятность наблюдать облачность со спутника

0,95 - вероятность с которой данные передадут на Землю. Найти вероятность , что переданные данные об облачности верны.

Решается через формулу Байеса

- облачность есть, - облачности нет

4 ) f(x,y) равномерно расперделена в G

f(x,y)=1/2

отсюда

Билет №7

3) По дороге едут груз и легковая машины, груз. в 4 раза больше чем легковая, вероятность того что груз. машина заед. на бензоколонку – 0,05 , а легковая – 0,15.

Найти с какой вероятностью машина покидающая бензозаправку – грузовая.

- легковая машина, - грузовая. - вер-ть запр. грузовой машины

4) Дано: , , ,

,

Решение:

Билет №8

3) 2 машинистки одна напечатала 1/3 часть рукописей, вторая – 2/3.

Вероятность что первая ошиблась , вторая -

Найдена ошибка , какова вероятность, что ошиблась первая.

А – ошибка обнаружена

-печатала первая, - печатала вторая

4) - 2 независ. случ. величины, равномерно распределены на отрезке [0,h], где Найти вероятность, что корни уравнения - комплексные.

Решение:

Билет №9

3) В первой урне 5 белых и 4 черных шара, во второй урне 4 белых и 2 черных шара.

Найти вероятность того, что вытащенный черный шар из первой урны.

Реш.:

Р(А) – вытащили черный шар; Р(Н₁) – вытащили шар из первой урны;

Р(Н₂) – вытащили шар из второй урны

-если вытаскивают из 1-й урны, то шар черный

- если вытаскивают из 2-й урны, то шар черный

- если вытащили черный шар, то он из 1-й урны

, =4/9 =2/6

Ответ: 4/7

4) Найти если и независимы, и

=

Билет №10

3) ВАЛ: равновозможны след. дефекты: . Найти вероятность что деталь поступила в ремонт хотя бы с одной поломкой.

=

А-деталь поступила в ремонт хотя бы с одной поломкой

4 ) равномерно распред. в круге R=1, найти условную вероятность распред.

, (1)

=

= (2) Далее делим (1) на (2) получаем ответ.

Билет №11

3) Есть 18 стрелков, есть 4 группы.

В 1 группе 5 человек - попадает с вероятностью р=0,8

Во 2-ой - 7 чел, р=0,7; в 3-ей – 4 чел, р=0,6; в 4-ой - 2 чел, р=0,5

Какой группе принадлежит самый херовый или самый нормальный стрелок.

- стрелок из i-группы, i=1,2,3,4

А – стрелок попал в цель.

Ответ: - вероятно из второй группы.

4)Две случ. величины , дано:

в билете опечатка, дано

Найти:

= =

Билет №12

1. В цехе 20 станков: 10 марки А, 6 марки В, 4 марки С. 0.8 0.7- вероятности изготовления отличных деталей. Найти какой процент отличных деталей выполняет цех

P(H₁)=10/20=0.5; P(H₂)=6/20=0.3 P(H₃)=0.2

P(A)= P(H₁)P(A|H₁)+ P(H₂)P(A|H₂)+ P(H₃)P(A|H₃)=0.5*0.9+0.3*0.8+0.2*0.7=0.83=83%

4.дано

решение

Билет №13

3)Радист сделал 3 вызова. Р того что первый дойдет=0.2 2-0.3 3-0.4 Какова вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов

Решение - ни один вызов не дойдет

4) Найти плотность распределения случ величины если величины независимы и распределены равномерно на интервале [-0.5|0.5]

Р ешение: Z=xy, F(z)=P(xy<z)=P(Z<z)=1-P(xy>z)

-искомая плотность

Билет №14

3) Производительность первого станка в а раз меньше второго станка и в b раз меньше третьего станка. - вероятности получения брака. Вероятность брака -?

А-взятая дет бракованая, Н_1,Н₂,Н₃ ;

где - вероятность того что деталь произв. первым станком.

4) Найти коэф. выпадения «1» и «6» при 2 бросках кубика.

х-число выпад 1 у-чисо выпад 6

X\Y	0	1	2
0	16/36	8/36	1/36
1	8/36	2/36	0
2	1/36	0	0

Р(0,0)=(1/6+1/6+1/6+1/6)* (1/6+1/6+1/6+1/6)=16/36

P(1,0)=1/6*4/6+4/6*1/6=8/36

P(0,1)=P(1,0)

P(1,1)=1/6*1/6+1/6*1/6=2/36

P(2,0)=P(0,2)=1/6*1/6=1/36

x	0	1	2
pi	25/36	10/36	1/36

y	0	1	2
pi	25/36	10/36	1/36

DX=

Билет №15

3) Три стрелка стреляют в мишень по отдельности по 1 выстрелу и поражают мишень двумя пулями. Найти вероятность Р(А) – того что первый промажет

Решение:

Т.к.

4) Случайная величина распределена на (a,b) по равномерному закону

Найти

, т.к.

тогда получаем

откуда получаем а=0 , b=6

Билет №16

3) 3 ящика с деталями 1-40 2-50 3-30

крашеных в первом 20, 2-10,3-15

Найти вероятность того, что случайно выбр. деталь - окрашенная

Решение:

4) , ,

Решение:

Найдем : , ,

Билет №17

3) 3 Завода вероятность брака в деталях 1-0.2% 2-0.1% 3-нет

В партии 2000 деталей с 1-ого, 3000 со 2-ого, 5000 с 3 его

Найти вероятность того что случайная деталь из этой партии брак.

Решение:

4) Дано Найти плотность распределения случ величины

Решение

1 Область: ;

2 Oбласть: ;

при y>0 и 0 при у<0

Билет 18

1. 1-25 % брак 0.1%

2-40% брак 0.2%

3-35% брак 0.9%

с какой р на испытания попадет брак деталь с первого завода

Решение: Р=(0.25*0.001)/( 0.25*0.001+0.4*0.002+0.35*0.009)=считать сами!

4) Найти Р попадания в прямоугольник П , если F(x,y) и при

Решение

=F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)

=1-2^-2-2^-5+2^-7-1+2^-1+2^-3-2^-4-(1-2^-2-2^-3-2^-5)+

+(1-2^-2-2^-3+2^-4)=2^-7+2^-3-2^-4=1/128*(1+16-8)=9/128

Билет №19

3) Снаряд разрывается на осколки: на большие – с вероятностью 10%, на сред – 30%,

на малые – 60%. При попадании в броню большого снаряда пробив. ее с вероятностью 0,9

средний – 0,2 , малый – 0,05. Один осколок пробил броню. К какой группе он принадлежал с большей вероятностью?

Р(А)=0.1*0.9+0.3*0.2+0.6*0.05=0.18

А-пробил броню, H₁-оторвавшийся большой,H₂—средний;H₃-маленький.