Задачи 1-4 вариант 9

Домашнее Задание по курсу “Теория Вероятности и Математическая Статистика”

Выполнил: Стеблина А. Б.

Проверил: Довбыш С. А.

Группа РЛ3-52.

Вариант 9.

Задача 1. Из 10 карточек с буквами выложен слово “АСТРОНОМИЯ”. Какова вероятность того, что выбранные на угад 5 карточек образуют слово “МОТОР”.

Рассмотреть 2 случая:

1. карточки в порядке извлечения;

2. карточки можно переставлять.

Решение:

1. Карточки в порядке извлечения.

A₁={первая буква “М”}

A₂={вторая буква ”О”}

…………

A₅={пятая буква ”Р”}

2. Карточки можно переставлять.

Поскольку порядок выбора несуществен, общее число элементарных исходов

Равно числу сочетаний из n=10 по m=5, т. е.

Учитывая, что число благоприятствующих событию А исходов N_A=1,

получаем

Ответ: 1. ; 2. .

Задача 2. Для некоторого изделия, выпускаемого заводом, установлено, что в среднем на 100 изделий 4 бракованных. Для проверки проводят испытания. Как показывает опыт, стандартные изделия проходят это испытание с вероятностью 0,98, а бракованные с 0,05. Какова вероятность того, что изделие дважды прошедшее испытание является стандартным.

Решение:

A={изделие прошедшее контроль стандартное}

={изделие прошедшее контроль , бракованое }

B={изделие дважды прошедшее контроль стандартное}

Введем гипотезы:

H₀={изделие браковано},

H₁={изделие стандартно}.

,

т.к. в среднем на 100 изделий 4 бракованных

.

Условные вероятности:

По формуле полной вероятности:

Применим формулу полной вероятности второй раз, учитывая, что вероятности гипотез для изделия прошедшего одно испытания имеют значения:

Ответ:0,926804.

Задача 3. Найти плотность распределения вероятности объема куба, ребро которого X – случайная величина, распределенная в интервале [0;a].

Решение:

Случайная величина X – ребро куба - распределена равномерно на отрезке [0;a],

С ней связана случайная величина - площадь круга.

Уравнение имеет одно решение , подставляя которое в формулу получим:

Ответ:

Задача 4. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того\, что частота появления грани с четным номером, при бросании кости отклониться от вероятности её появления не более чем на 0,01, если произведено 10000 испытаний. Сравнить с результатом, полученным по формуле Муавра-Лапласа.

Решение:

Найдем вероятность выпадения четной грани:

Найдем наиболее вероятное значение числа успехов. Представим число успехов k в n испытаниях по схеме Бернулли в виде

где k_i – число успехов в i-м испытании.

Найдем искомую оценку вероятности с использованием второго неравенства Чебышева:

Для того чтобы найти дисперсию представим k в виде суммы, как это делалось при нахождении Mk

Дисперсия каждого слагаемого равна:

Учитывая, что случайные величины k_i являются независимыми, получаем

Из (4.5) находим оценку вероятности попадания k в интервал [Mk-b;Mk+b]

Относительная частота появления четной грани не должна отличаться от её вероятности более чем на 0,01:

Оценим вероятность с использованием интегральной формулы Муавра-Лапласа.

Согласно этой формуле вероятность того, что число успехов k заключено в пределах от k₁ до k₂, справедливо приближенное соотношение

Функцию Φ₀ называют интегралом Лапласа.

тогда

Вероятность того, что число успехов лежит в интервале

Ответ: По неравенству Чебышева

По теореме Муавра-Лапласа .