КИ лекция 8 (Лекции по криволинейным интегралам)

Лекция 8. Поверхностный интеграл 1-го рода: определение, свойства, вычисление, применение. Двусторонние ориентированные поверхности. Поверхностный интеграл 2-го рода (поток векторного поля через ориентированную поверхность): определение, свойства, вычисление.

ОЛ-1, гл. 6; ОЛ-2, гл. 15; ДЛ-2, т. 2, гл. 6.

Поверхности в пространстве можно задавать различными способами, например, явно, параметрически, неявно. Установим важное для дальнейшего изложения понятие стороны поверхности. В ряде случаев это понятие интуитивно ясно. Если поверхность задана явно, например, уравнением z = z(x, y), то можно говорить о ее верхней или нижней стороне. Замкнутая поверхность ограничивает некоторую область в пространстве, и можно различать внутреннюю сторону этой поверхности, обращенную к области, и внешнюю сторону, обращенную вовне.

Рассмотрим гладкую поверхность Ф, замкнутую или же ограниченную кусочно-гладким контуром L. В каждой внутренней точке такой поверхности существуют касательная плоскость и нормальный вектор. Нормальный вектор может иметь одно из двух возможных направлений. В случае гладкой поверхности в окрестности любой ее точки можно указать непрерывно меняющийся единичный вектор нормали. Если в каждой точке поверхности можно выбрать единичный вектор нормали так, что получится векторная функция, непрерывная на всей поверхности, то такую поверхность называют двусторонней поверхностью. Если для поверхности Ф не существует непрерывного единичного вектора нормали, то ее называют односторонней поверхностью.

Определение поверхностного интеграла первого рода

Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz. Пусть на некоторой двусторонней (неориентированной) гладкой (или кусочно гладкой) поверхности Ф, ограниченной кусочно гладким контуром L, определена функция f(М) = f(x, y, z). Выберем разбиение поверхности Φ на конечное число частичных областей Φ_i, i = 1, ..., n, с площадями . В каждой частичной области Φ возьмем произвольную точку . Пусть λ − мелкость, то есть максимальный из диаметров λ_i частичных областей Φ_i, i = 1, ..., n. Сумму

назовем интегральной суммой для функции f(x, y, z) по поверхности Ф. Если эта интегральная сумма при имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения поверхности Ф на частичные области Φ_i, i = 1, ..., n, ни от выбора точек , то этот предел называют поверхностным интегралом первого рода от функции f(x, y, z) по поверхности Ф и обозначают

Теорема. Пусть Ф − гладкая поверхность, не имеющая особых точек и пусть функция f(М) = f(x, y, z) непрерывна во всех точках , включая край поверхности Ф. Тогда существует поверхностный интеграл первого рода .

Свойства поверхностного интеграла первого рода:

(1) аддитивность; (2) линейность; (3) переход к неравенству под знаком интеграла; (4) интеграл от константы; (5) теорема об оценке; (6) теорема о среднем (для гладкой поверхности Φ и непрерывной функции f).

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

1) Поверхность Φ, заданна параметрически

где , , − непрерывно дифференцируемые функции в их области определения D, r = (x, y, z) − радиус-вектор.

Для замкнутой области D − области определения функций х(u, v), y(u, v), z(u, v) − выберем некоторое разбиение Т_D на частичные области D_i, i = 1, ..., n. Каждой частичной области D_i соответствует некоторая часть Ф_i поверхности Ф. Части Ф_i будем называть частичными областями поверхности Ф, а их совокупность T − разбиением поверхности Ф. Таким образом, любое разбиение поверхности определяется каким-либо разбиением области определения функций в правых частях параметрических уравнений.

В каждой частичной области Ф_i разбиения Т выберем произвольным образом точку M_i(x_i, y_i, z_i). Предположим, что диаметр d(T) разбиения Т, т.е. максимальный из диаметров частичных областей, настолько мал, что проекция частичной области Фi на касательную плоскость к поверхности Ф_i в точке М_i является взаимно однозначной, т.е. различные точки Ф_i имеют различные проекции на касательную плоскость.

Выберем некоторую частичную область Ф_i и зафиксируем. В точке M_i построим прямоугольную систему координат M_iξηζ, соприкасающуюся с поверхностью (согласованную с поверхностью), т.е. такую систему координат, для которой плоскость ξM_iη совпадает с касательной плоскостью к поверхности в точке М_i, а ось M_iζ направлена по нормали к поверхности. В окрестности точки Mi поверхность Ф можно задать уравнениями

(1)

Благодаря такому выбору системы координат M_iξηζ, имеем , где u_i и v_i − значения параметров, соответствующие точке М_i. Плоская область расположена в координатной плоскости ξM_iη, и ее площадь ΔS_i можно подсчитать следующим образом:

где J(u,v) − якобиан отображения (1) в точке . В последнем интеграле подынтегральную функцию |J(u, v)| заменим константой |J(u_i, v_i)|. Получим для площади ΔS_i приближенное значение |J(u_i, v_i)|Δσ_i, где Δσ_i − площадь замкнутой области D_i в плоскости переменных u и v. Погрешность δ_i этого приближения можно оценить следующим образом:

Суммируя по всем частичным областям получаем

где σ − площадь замкнутой области D. При стремлении к нулю диаметра d(T) разбиения Т поверхности Ф к нулю стремится и диаметр d(T_D) разбиения Т_D замкнутой области D. При этом

Для значения |J(u_i, v_i)| имеем

Нетрудно проверить, что

Тогда

2) Поверхность Φ, заданна явно (D^* − проекция поверхности Φ на плоскость Oxy). Тогда

Геометрические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода:

1) площадь поверхности;

2) масса материальной поверхности плотности μ:

3) координаты центра масс;

4) моменты инерции материальной поверхности относительно координатных плоскостей, осей координат, начала координат.

Определение поверхностного интеграла второго рода

Пусть в прямоугольной системе координат Охуz задана некоторая область V. Пусть в области V задана поверхность Ф, ограниченная некоторой пространственной линией L. Относительно поверхности Ф мы будем предполагать, что в каждой ее точке M определяется положительное направление нормали единичным вектором n(M), направляющие косинусы которого являются непрерывными функциями координат точек поверхности. Пусть в каждой точке поверхности определено векторное поле G(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k.

Разобьем поверхность Ф каким-либо способом на элементарные площадки . На каждой площадке возьмем произвольную точку M_i и рассмотрим сумму

(2)

Если существует конечный предел этих интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, не зависящий от способа разбиения поверхности Ф на п частей и выбора точек M_i, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от векторной функции G(x, y, z) и обозначается:

Теорема. Пусть задана ориентированная кусочно-гладкая поверхность Ф, а векторное поле G(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k непрерывно на ней, то существует поверхностый интеграл второго рода .

Свойства поверхностного интеграла второго рода

1) При смене ориентации поверхности на противоположную поверхностный интеграл второго рода меняет знак.

2) Аддитивность. 3) Линейность. 4) Теорема об оценке.

5) Связь с поверхностным интегралом первого рода. Пусть в любой точке задана нормаль n = cos (n, x)i + cos (n, y)j + cos (n, z)k. Тогда

(слева стоит поверхностный интеграл второго рода, а справа – первого).

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

П роизведение есть проекция площадки на плоскость Оху (см. рис.); аналогичное утверждение справедливо и для произведений и :

,  ,

Пусть поверхность Ф такова, что всякая прямая, параллельная оси Oz пересекает ее в одной точке. Тогда уравнение поверхности можно написать в виде z = z(x, y). Обозначая через D проекцию поверхности Ф на плоскость Оху, получим

При этом перед двойным интегралом берется знак плюс, если , и знак минус, если .

Аналогично вычисляются интегралы

,

Второй способ (по разработке Павельева_Поверхн_Интегралы_кр_Версия.pdf).

Поверхностный интеграл второго рода от непрерывного во всех точках поверхности векторного поля G(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k по ориентированной поверхности Ф (поток векторного поля G через поверхность Ф) будем вычислять по формуле:

(3)