КИ лекция 5 (Лекции по криволинейным интегралам)

Лекция 5. Замена переменных в тройном интеграле (общая формулировка). Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. Применение кратных интегралов для вычисления центра масс и моментов инерции.

ОЛ-1, гл. 2; ОЛ-2, гл. 14; ДЛ-2, т. 2, гл. 6.

Замена переменных в тройном интеграле (общая формулировка).

Теорема. Пусть функции

, ,

взаимно однозначно отображают область V в декартовых коор­динатах х, у, z на область Ω в криволинейных координатах и, v, w. Пусть элемент объема ΔV области V переходит в элемент ΔΩ области Ω и пусть

Тогда (для интегрируемой функции определенной на V)

и

Ц илиндрические координаты. Цилиндрические координаты точки связаны с прямоугольными декартовыми (при их стандартном взаимном расположении) соотношениями

которые можно рассматривать как отображение замкнутой области

на Q = R³. Отметим, что данное отображение не является взаимно однозначным. Однако, как и в случае полярных координат на плоскости, формула перехода к криволинейным координатам остается верной в цилиндрических координатах.

К оординатными поверхностями в цилиндрической системе координат будут:

1) полуплоскости φ = const, проходящие через ось Oz;

2) цилиндрические поверхности r = const с образующими, параллельными оси Oz, и направляющими в виде концентрических окружностей с центром на этой оси, лежащих в плоскости, перпендикулярной оси Oz;

3) плоскости z = const, перпендикулярные оси Oz.

Якобиан отображения:

Сферические координаты. Сферические координаты r, φ и θ связаны с декартовыми координатами x, у, z (при стандартном взаимном расположении двух систем координат) соотношениями

которые определяют отображение замкнутой области

в замкнутую область Q = R³. Это отображение непрерывно дифференцируемо, но в Ω не является взаимно однозначным. Тем не менее формула перехода к криволинейным координатам, как и в случае полярных и цилиндрических координат, остается верной.

Напомним, что сферические координаты имеют следующий геометрический смысл:

1) величина r есть длина радиус-вектора OM точки М;

2 ) величина φ есть угол между проекцией ОМ₁ радиус-вектора OM на плоскость xOy и осью Ox;

3) величина θ есть угол между вектором ОМ и осью Oz.

Сферическим координатам отвечают следующие семейства координатных поверхностей:

1) концентрические сферы r = const с центром в точке О;

2) полуплоскости φ = const, проходящие через ось Oz и ограниченные этой осью;

3) круговые полуконусы θ = const с вершиной в точке О, осью симметрии которых является ось Оz.

Якобиан отображения:

Замечание. Существует другой вариант сферической системы координат, в котором вместо угла θ используется угол ψ, который отсчитывается не от оси Oz, а от координатной плоскости хОу. В этом варианте областью изменения координаты ψ является отрезок , а якобиан отображения, связывающего сферические и декартовы координаты, равен .

Применение кратных интегралов для вычисления центра масс и моментов инерции. Объем области трехмерного пространства OXYZ равен

Масса тела, занимающего область V,

где − плотность тела в точке .

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей

,

Координаты центра тяжести

, ,

Моменты инерции относительно осей координат

,

Пример 1. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле

по замкнутой области Q, ограниченной плоскостями у = 0, z = 0, z = a и поверхностью у. Вычислить этот интеграл, переходя к цилиндрическим координатам.

В декартовых координатах

В координатах (x, y) , а в цилиндрических: . Поэтому

Пример 2. Вычислить объем V тела Q, ограниченного поверхностью .

Тело можно описать с помощью неравенства , которое в сферической системе координат является достаточно простым: . Поскольку r ≥ 0, то . Переменное φ вообще не входит в неравенство. Поэтому область изменения φ максимальная: