КИ лекция 12 (Лекции по криволинейным интегралам)

Лекция 12. Ротор векторного поля. Формула Стокса (без доказательства). Физический смысл циркуляции и ротора. Необходимые и достаточные условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве. Оператор Гамильтона, запись с его помощью дифференциальных операций векторного анализа.

ОЛ-1, гл. 5, 8; ОЛ-2, гл. 15; ДЛ-2, т. 2, гл. 6.

Пусть гладкая двусторонняя поверхность Ф, ограниченная гладким контуром L, задана параметрическими уравнениями

с помощью функций , , , дважды непрерывно дифференцируемых в замкнутой области , ограниченной гладким контуром L^*.

Контуру L^* при отображении, определяемом функциями , , соответствует контур L, ограничивающий поверхность Ф. Обходу контура L^* на плоскости отвечает обход контура L, и наоборот. Условимся считать положительным такое направление обхода контура L, которому соответствует положительное направление обхода контура L^*. Если n − единичный вектор нормали к поверхности, то при положительном обходе контура L поверхность будет оставаться слева, если смотреть с конца вектора n. Таким образом, положительное направление обхода границы поверхности согласуется с выбором ее стороны.

Как и ранее, , , − направляющие косинусы вектора n в произвольной точке М поверхности Ф.

Пусть в некоторой пространственной области V^*, целиком содержащей поверхность Ф, заданы непрерывно дифференцируемые функции Р = Р(х, у, z), Q = Q(х, у, z), R = R(x, у, z). Тогда имеет место формула Стокса

где обход контура L при выбранной стороне поверхности Ф происходит в положительном направлении.

Пространственную область G назовем поверхностно односвязной, если она линейно связна и любой контур L, целиком лежащий в G, является границей некоторой поверхности, лежащей в G. Примерами поверхностно односвязной области являются шар и полый шар; не поверхностно односвязная область − область внутри тора.

Теорема. Пусть V − поверхностно односвязная область в пространстве и функции P(х, у, z), Q(х, у, z), R(х, у, z) непрерывно дифференцируемы в V. Тогда следующие четыре условия эквивалентны.

1. Выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом dU некоторой функции U(х, у, z) дифференцируемой в V.

2. В области V верны равенства

3. Для любого кусочно-гладкого контура L, целиком лежащего в области V, справедливо равенство

4. Для любых двух точек A и B в области V криволинейный интеграл второго рода

не зависит в этой области от пути интегрирования.

Если для векторного поля G справедливо одно из утверждений выше, то такое поле называют потенциальным, а функцию U (из п. 1) − потенциалом векторного поля G.

Для потенциала имеем формулу

Формула Ньютона − Лейбница для криволинейного интеграла вдоль пространственной кривой для потенциального поля

Циркуляция вектора; работа поля. Линейный интеграл от вектора G по кривой С определяется формулой

(1)

и представляет собой работу поля G вдоль кривой С (G_s − проекция вектора G на касательную к С).

Если кривая С − замкнутая, то линейный интеграл (1) называется цирку-ляцией векторного поля а вдоль контура С.

Ненулевое значение циркуляции силового поля указывает на то, что это поле производит работу при перемещении материальной точки, возвращающейся в исходное положение. В этом случае говорят о вихревом характере силового поля. Чтобы охарактеризовать, в какой степени и где поле является вихревым, поступим следующим образом. Выберем некоторый единичный вектор n, точку M₀ в области определения векторного поля G. В плоскости σ, перпендикулярной вектору n и проходящей через точку М₀, возьмем простой кусочно-гладкий контур L, окружающий точку М₀ и ограничивающий в плоскости область с площадью S. Предел

отношения циркуляции вдоль контура к площади, ограниченной этим контуром, если он существует, называют завихренностью векторного поля в точке M₀ в направлении вектора n.

Завихренность векторного поля G(М) в точке M₀ в направлении единичного вектора n можно представить как проекцию некоторого вектора ω на направление вектора n. Вектор ω можно определить его проекциями на направления базисных векторов e₁, e₂, е₃. Его называют ротором (иногда вихрем) векторного поля в точке M₀ и обозначают rot G(M).

С помощью формулы Стокса, теоремы о среднем для поверхностного интеграла и определения завихренности для непрерывно дифференцируемого поля G в декартовой системе координат можно получить формулу

.

(Ее же часто используют для определения ротора). Запись ротора векторного поля a с помощью определителя третьего порядка

Если замкнутая кривая С ограничивает двустороннюю поверхность S, то справедлива формула Стокса, которая в векторной форме имеет вид

где n − вектор нормали к поверхности S, направление которого должно быть выбрано так, чтобы для наблюдателя, смотрящего по направлению n, обход контура С совершался в правой системе координат против хода часовой стрелки.

Свойства ротора векторных полей

1)

2) (f(M) − дифференцируемое скалярное поле)

Оператор Гамильтона. Выберем в пространстве прямоугольную систему координат Ox₁x₂x₃ с правым ортонормированным базисом e₁, e₂, е₃. Рассмотрим символический векторный дифференциальный оператор, называемый оператором Гамильтона или оператором набла

Запись с помощью оператора набла дифференциальных операций векторного анализа

1) (u − дифференцируемое скалярное поле).

2)

3)

4) или ; 5) или

6) Оператор Лапласа: или . Если для функции u выполняется равенство , то такая функция называется гармонической.∆

7)

8)

9)

Если c − произвольный постоянный вектор, а a и b − дифференцируемые векторные поля, то

10) ; 11)

12)

13)

14)

15)

Основные правила записи и получения формул векторного анализа с помощью оператора Гамильтона и основных операций векторной алгебры.

1. Оператор действует на все скалярные и векторные поля, стоящие справа от него, и не действует на поля, находящиеся слева от него.

2. Если стоящее справа от оператора выражение представляет собой линейную комбинацию скалярных или векторных полей, то действие оператора равносильно линейной комбинации его действий на каждое из этих полей.

3. Оператор , действующий на произведение скалярных и (или) векторных полей, следует применить, согласно правилу дифференцирования произведения, к каждому сомножителю отдельно, считая остальные постоянными, и результаты сложить, а затем каждое слагаемое, используя правила векторной алгебры, привести к такому виду, чтобы справа от оператора стоял только тот сомножитель (скалярное или векторное поле), который в данном слагаемом принят переменным.