Построение приближенного решения краевой задачи для дифференциального уравнения (Огромное количество решённых курсовых)

Московский государственный технический

университет им. Н. Э. Баумана.

Курсовая работа

по дисциплине: «дифференциальные уравнения »

Выполнил:

студент 2-го курса, гр. АК3-31

Ягубов Роман Борисович

Проверил:

Апельцин Виктор Филиппович

Москва 2013 г.

СОДЕРЖАНИЕ:

KI. Постановка задачи.

1. Математический аспект.................................................................................2

2. Физический аспект..........................................................................................2

3. Исходные данные............................................................................................3

4. Задание по курсовой работе..........................................................................3

I. Численный приближенный метод.

1. Теоретическая часть.......................................................................................4

2. Построение численного решения.................................................................7

3. Реализация метода...........................................................................................7

4. Визуальная оболочка программы................................................................7

5. Код программы c учетом исходных данных..............................................8

6. Результаты......................................................................................................14

7. Графическое сравнение................................................................................15

II. Метод последовательных приближений.

1. Теоретическая часть.....................................................................................16

2. Реализация метода.........................................................................................18

3. Подстановка исходных данных..................................................................19

4. Результаты......................................................................................................19

5. Графическое сравнение................................................................................19

III. Метод WKB.

1. Теоретическая часть.....................................................................................20

2. Реализация метода.........................................................................................23

3. Подстановка исходных данных..................................................................24

4. Результаты......................................................................................................24

5. Графическое сравнение................................................................................24

IV. Сопоставление результатов.

1. Численное сравнение....................................................................................25

2. Графическое сравнение................................................................................26

KI. Постановка задачи.

1. Математический аспект

Данная курсовая работа посвящена построению приближенного решения краевой задачи для дифференциального уравнения вида:

По условию, n(x)представляет собой кусочно-непрерывную функцию, равную константе k² на интервалах (-∞; 0) и (а; +∞) и непрерывной известной функции на [0; a]. На границах [0; a] решение и его первая производная должны удовлетворять условиям:-

(гладкое сшивание решения)

u(-0) = u(+0) u’(-0) = u’(+0)

u(a-0) = u(a+0) u’(a-0) = u’(a+0)

1. Физический аспект

Задача соответствует возбуждению плоского слоя неоднородной намагниченной среды электромагнитным полем, вектор электрического поля распространяется вдоль оси х. k имеет смысл волнового числа в однородной части пространства, - показатель преломления неоднородной среды.

Из физических соображений, решение справа от слоя [0; a] должно иметь вид = ,

а слева = . Задача состоит в приближенном построении решения внутри неоднородного слоя и нахождении комплексных констант A и B (называемых, соответственно, коэффициентами отражения и прохождения электромагнитного поля).

Действительная область значений функции соответствует отсутствию поглощения энергии в среде, так что критерием правильности полученных приближенных значений служит энергетическое тождество:

1. Исходные данные

При решении конкретной задачи были использованы следующие исходные данные:

1. Задание по курсовой работе

1. Решить краевую задачу методом построения фундаментальной матрицы, выбирая

последовательные значения параметра N так, чтобы достигалась внутренняя сходимость,

позволяющая построить на интервале [0, a] графики функций Re u(x); Im u(x) с графической точностью, а также найти численные значения коэффициентов А и B , удовлетворяющие энергетическому критерию:

2. Найти приближенное решение в явном виде методом последовательных приближений, взяв в разложении:

u = u0 + u1 + u2 + u3 + ...

столько итераций, чтобы графики функций Re u(x); Im u(x) совпадали с таковыми, полученными в п.1. Вычислить значения коэффициентов А и B.

3. Из системы уравнений:

найти явные приближенные выражения для констант А , B.

Получить их численные значения. Построить графики Re u(x); Im u(x).

Проверить энергетический критерий.

4. Сравнить результаты.

II. Метод последовательных приближений.

5. Теоретическая часть

Распространяющаяся в однородной изотропной среде волна описывается дифференциальным уравнением вида

(1)

Внутрь среды помещают неоднородный слой шириной . Внутри этого слоя уравнение распространения волны удовлетворяет уравнению

(2)

Требуется найти функцию внутри слоя и коэффициенты отражения и просачивания волны.

Введём систему координат таким образом, что ось совпадает с направлением распространения волны, ось ей перпендикулярна, а прямая совпадает с левой границей слоя. Тогда для правой границы .

В этом случае можно ввести функцию ,

для которой .

Тогда будем рассматривать уравнение

(3)

К слою подходит волна, описываемая функцией , являющейся решением уравнения (1). На границе слоя часть волны отразится. С учётом изотропности слоя можно записать, что при решением уравнения (3) будет функция , где – числовой коэффициент, называемый коэффициентом отражения. Аналогично, при решение примет вид , где – числовой коэффициент, называемый коэффициентом просачивания.

Допустим, нам удалось получить решение уравнения (3) на . По теореме о структуре решения обыкновенного линейного дифференциального уравнении, это решение имеет вид . На решение наложим условие непрерывности и гладкости в точках и . Они имеют вид

(4)

Систему (4) можно привести, с учётом известного нам поведения функции , к виду

(5)

Введём функцию .

Тогда уравнение (2) сводится к системе

(6)

Систему (6) представим в виде векторного уравнения

(7)

Символически запишем (7) в виде

(8)

Введём фундаментальную матрицу , удовлетворяющую условиям

(9)

Тогда очевидно, что

(10)

Из (5) видно, что

(11)

Раскроем выражение (10) с учётом (11):

(12)

Подставим в (12):

(13)

В то же время, в силу (5) имеем:

(14)

Тогда из (13) и (14) получим систему из двух линейных уравнений с комплексными коэффициентами относительно и :

(15)

Таким образом, для определения коэффициентов отражения и просачивания нам достаточно найти значение фундаментальной матрицы при , т.е. в крайней точке интервала интегрирования системы (2).

Построение явного решения потребует построения явного вида фундаментальной матрицы. Это не представляется возможным, поэтому мы воспользуемся численным методом для вычисления приближённых значений во внутренних точках отрезка .

6. Построение численного решения

Разобьём отрезок на равных отрезков вида , где , . На каждом из отрезков аппроксимируем функцию постоянной , где . Примем шаг , тогда . Тогда на матрица в уравнении (8) будет не переменной, а постоянной. Будем считать . Тогда на решением будет , на и т.д. Таким образом, фундаментальная матрица может быть найдена по формуле.

(16)

После этого из системы (15) определяются коэффициенты и . Для анализа корректности полученных результатов воспользуемся законом сохранения энергии в форме: