Построение приближенного решения краевой задачи для дифференциального уравнения (1075673), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Аналогично, при x  a , благодаря представлению (26), решение имеет вид

u(x) = + . (30)

Следовательно,

В = + 1.

Иначе говоря, коэффициенты отражения и прохождения вычисляются по формулам (29), (30), если построено решение интегрального уравнения (27).

Построение самого приближенного решения этого уравнения проводится методом последовательных приближений согласно следующей схеме.

Представим искомое решение уравнения второго рода (28) в виде бесконечного ряда

u = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + ...

Подставив его в (28), получим

u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + ... =A u₀ + A u₁ + A u₂ + A u₃ + ... + f.

Положим u₀ = f ; u₁ = A u₀ ; u₂ = A u₁ ; u₃ = A u₂ ; . . . ; u_n+1 = A u_n . (31)

Подобным выбором последовательных приближений уравнение (31) очевидно удовлетворяется тождественно.

14. Подстановка исходных данных

В результате реализации метода получили выражение для поля:

Интеграл представляем в виде:

15. Результаты метода последовательных приближений

В результате метода получаем результаты:

A = - 0,062 + 0,009i

B = 0,973 - 0,115i

|A|² + |B|² = 0,956

16. Графическое сравнение

В результате метода получаем результаты :

Действительная часть Re u(x)

Мнимая часть Im u(x)

III. Метод WKB

17. Теоретическая часть

Рассматриваемая краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с переменным коэффициентом не допускает построения явного решения. Оно было бы возможным, если бы на интервале [0, a] удалось построить два линейно независимых решения u₁(x) и u₂ (x) этого уравнения. Однако, существует приближенный асимптотический метод построения таких решений, называемый методом WKB , - по первым буквам фамилий его авторов. Этот метод предполагает построение решений в виде асимптотического ряда

u(x)  , (32)

где (x) (фазовая функция) и u_n(x) (амплитудные функции) заранее не известны и подлежат нахождению. Ряд (33) не предполагается сходящимся в классическом смысле. Вместо этого предполагается, что отношение каждого последующего члена ряда к предыдущему есть величина O(1/k). Это соответствует определению асимптотического ряда, у которого каждый последующий член по отношению к предыдущему есть величина большего порядка малости относительно степени малого параметра 1/k . Исходное О.Д.У. переписывается при этом в виде

+ k² u = 0, (33)

где = n(x)/ k² , - нормированный показатель преломления.

Для нахождения функций(x) и u_n(x) ряд (33) формально подставляется в уравнение (33).

Вторая производная вычисляется в виде

u’’(x) = {ik’’(x)  k²[’(x)] ² + 2ik’(x) + }.

Подставляя это выражение и представление (32) в уравнение (33), и сокращая на общий множитель , получим

i’’(x)  [’(x)] ² + 2i’(x) + +

= 0. (34)

Выравнивая в бесконечных суммах степени k в знаменателях нужным сдвигом индекса суммирования, преобразуем уравнение (34) в уравнение

i’’(x)  [’(x)]² + 2i’(x) + + = 0. (35)

Приравнивая выражения при одинаковых степенях параметра k , получим:

для n = - 2:

u₀(x) [  [’(x)]²] = 0;

для n = - 1:

i’’(x) u₀(x)  [’(x)]² u₁(x) +2i’(x) u’₀ (x) + u₁(x) = 0;

для n  0:

i’’(x) u _{n + 1}(x)  [’(x)]² u _{n + 2} (x) + 2i’(x) u’ _{n + 1} (x) + u’’ _n (x)

+ u _{n + 2} (x)= 0 .

Так как u₀ (x) не должно обращаться в ноль, уравнение для n = - 2 приводит к О. Д. У. первого порядка для нахождения фазы(x) (одномерное уравнение эйконала)

[’(x)]² = . (36)

Остальные уравнения при этом упрощаются до О.Д.У. первого порядка относительно u₀(x) :

i’’(x) u₀(x) + 2i’(x) u’₀ (x) = 0; (37)

и О.Д.У. первого порядка относительно u _{n + 1}(x), если построено u _n (x):

i’’(x) u _{n + 1}(x) + 2i’(x) u’ _{n + 1} (x) + u’’ _n (x) = 0; (38)

Обычно в методе WKB ограничиваются первым приближением u₀(x) ,

так как ряд (32) вообще говоря не сходится и добавление последующих членов может ухудшить аппроксимацию.

Уравнение (37) допускает два решения

₁ (x) = = ; ₂ (x) =  ;

а уравнение (38) приводится к виду

 2 .

Так как = ,

независимо от знака у_1,2 (x) , то это уравнение переписывается в виде

=  . (39)

Очевидным решением уравнения (39) является

u₀(x) = .

18. Реализация метода

Таким образом, благодаря двузначности решения для фазы  (x), получим два линейно независимых решения

= ; = . (40)

Окончательно, общее асимптотическое приближенное решение уравнения (1.1) в области [0, a] неоднородного слоя имеет вид

u(x) = C₁ + C₂ = C₁ + C₂ . (41)

Здесь C₁ и C₂ - произвольные константы. После этого, окончательное приближенное решение исходной задачи, как и прежде, сводится к вычислению констант А , B, C₁ , C₂ из краевых условий на границах слоя :

(42)

19. Подстановка исходных данных

= ; = .

u(x) = C₁ + C₂ = C₁ + C₂ .

Получили систему алгебраических уравнений:

20. Результаты метода WKB

Решение системы реализовано в Wolfram Alpha.

Получили следующие значения для коэффициентов А, В:

A = - 0,061931 + 0,010965i

B = 0,99802 - 0,114567i

|A|² + |B|² = 1

21. Графическое сравнение

Действительная часть Re u(x)

Мнимая часть Im u(x)

IV. Сопоставление результатов.

22. Численное сравнение

Сравнение результатов вычислений для одних и тех же исходных данных, полученных при помощи разных методов – построением фундаментальной матрицы и решением интегрального уравнения последовательными приближениями:

Результаты численного приближенного метода:

A = - 0,0616801839547689 + 0,0107501248563918i

B = 0,991400263648656 - 0,114915216341547i

|A|² + |B|² = 0,999999999986572

Результаты метода последовательных приближений:

A = - 0,062 + 0,009i

B = 0,973 - 0,115i

|A|² + |B|² = 0,956

Результаты метода WKB:

A = - 0,061931 + 0,010965i

B = 0,99802 - 0,114567i

|A|² + |B|² = 1

23. Графическое сравнение

Действительная часть Re u(x):

Численный приближенный метод

Метод последовательных приближений

Метод WKB

Мнимая часть Im u(x):

Численный приближенный метод

Метод последовательных приближений

Метод WKB

Характеристики

Список файлов домашнего задания