Изгиб и кручение тонкостенных стержней, страница 6

Вместе с тем, тонкостенный стержень в силу геометрических соотношений обнаруживает свойства, существенно отличающие его от стержней сплошного сечения. При некоторых видах загружения не соблюдается гипотеза плоских сечений, происходит так называе­мая депланация сечения за счет неравномерной деформации стерж­ня вдоль его оси. Иными словами, не соблюдается принцип СенВенана  глубина «проникновения» краевых особенностей вдоль оси существенно больше, чем в сплошном стержне.

Вообще говоря, сравнительная оценка нормальных и касатель­ных напряжений  и  в поперечных сечениях бруса при переходе от сплошного сечения к тонкостенному профилю существенно меняется, и этот вопрос требует особого изучения.

              Рис. 19.2

При кручении тонкостенных стержней и вообще стержней с некруглым поперечным сплошным сечени­ем, поперечные сечения плоские до дефор­мации, искривляются по некоторой поверх­ности w(x, y, z) (рис.19.2), что называется депланацией сечения. По характеру фор­мирования депланаций сечения по длине стержня, следует различать два типа круче­ния стержней: свободное и стесненное.

Если депланация во всех поперечных сечениях одинакова по длине стержня или иначе w(x, y, z) = w(x, y), т.е. она является постоянной и не зависит от z, то такое кручение называется сво­бодным. При переменных депланациях по длине стержня, кручение называется стесненным.

При свободном кручении в поперечных сечениях стержня воз­никают только касательные напряжения, а при стесненном кру­чении, наряду с касательными возникают и нормальные напряже­ния. Эффект от неравномерной депланации сечения по его длине наиболее существенен для стержней открытого профиля.

Заметим, что порядок вычисления напряжений и перемещений в тонкостенном стержне закрытого профиля при свободном кручении принципи­ально ничем не отличается от метода расчета обычных стержней. Поэтому, здесь этому вопросу специальное внимание не уделяется.

Секториальная площадь

В дополнение к уже известным геометрическим характеристи­кам сечений (A  площадь поперечного сечения; S_x, S_v  статиче­ские моменты сечения; I_x, I_v, I_xy  осевые и центробежный момен­ты инерции) введем ряд новых. Эти характеристики свойственны только тонкостенным стержням и определяются на основе понятия секториальной площади.

Рассмотрим срединную линию контура поперечного сечения (рис.19.3). Срединная линия  это геометрическое место точек поперечного сечения, равноудаленно расположенных от контурных линий. Выберем на срединной линии начало 0 отсчета дуги s и из заданного полюса Р. Проведем два луча к концам элементарного отрезка ds. Удвоенную площадь треугольника PAB обозначают через  .

Очевидно, что

,                                                                                                                             (19.1)

где r  расстояние от полюса Р до каса­тельной к линии контура в точке А.

Интеграл

,                                                                                                                                 (19.2)

называется секториальной площадью. Таким образом, сектори­альная площадь представляет собой удвоенную площадь, очер­чиваемую радиусвектором РА при движении т. А по контуру от начала отсчета 0 до некоторого значения дуги s. Если радиусвек­тор вращается по часовой стрелке, приращение площади   имеет знак плюс, против часовой стрелки  минус.

                        Рис. 19.3

Точка Р называется секториальным полюсом.

При заданном полюсе и заданном начале отсчета в каждом конкретном случае может быть построена эпюра секториальной площади.

                                   Рис. 19.4

В качестве примера по­строим эпюру секториальной площади для контура, приве­денного на рис.19.4, а. Выби­раем в качестве полюса точ­ку P, а за начало отсчета при­нимаем точку 0 (рис.19.4, а).

Рассмотрим участок 03. На этом участке  . Век­тор r вращается по часовой стрелке, следовательно эпюра   имеет знак плюс:

;    ;    .

На участке 34,  , вектор r вращается против часовой стрелки, то есть приращение площади будет отрицательным:

;    ;    .

На участке 02,  , вектор r вращается против часовой стрелки, то есть приращение площади будет отрицательным:

;    ;    .

На участке 21,  , вектор r вращается по часовой стрелке, то есть приращение площади будет положительным:

;    ;    .

Эпюра секториальной площади   приведена на рис.19.4, б.

Отметим, что при переносе полюса секториальная площадь ме­няется на величины, линейно зависящие от координат x и y, т.е.:

,                                                                           (19.3)

где   и   секториальная площадь относительно нового Р₀ и старого полюса Р', соответственно; x_c, y_c, x₀, y₀  координаты центра изгиба и начала отсчета, соответственно.

Секториальные характеристики и их определение

Наряду с общепринятыми, для тонкостенных стержней вводят­ся дополнительные характеристики поперечных сечений.

Секториально статический момент поперечного сечения:

, см⁴ .

Секториально линейные моменты площади поперечного сечения:

 и   , см⁵ .

Секториальный момент инерции поперечного сечения:

, см⁶ .

Окончательные выражения секториальных характеристик, исхо­дя из предположения, что толщина тонкостенного сечения по все­му контуру постоянна и равна .

При поперечном изгибе или кручении всегда существует такая точка, относительно которой момент от касательных сил, возни­кающих в поперечном сечении, равен нулю. Эта точка называется центром изгиба иликручения. Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба или центр кручения совпадают с центром тяжести.

Положение центра изгиба (или кручения) не зависит от дейст­вующих на стержень сил, а зависит только от формы и размеров поперечного сечения тонкостенного стержня.

При стесненном кручении центр кручения, а также начало отсчета секториальной площади не могут быть выбраны произ­вольно. Эти точки должны быть выбраны так, чтобы секториально линейные моменты, а также секториально статический момент бы­ли равны нулю, т.е.:

                                                                                   (19.4)

Выполнение условий первых двух условий из (19.4) зависит только от выбора координат полюса. Выполнение же третьего из условий (19.4) зависит от выбора начала отсчета 0.

Эпюра  , построенная при полюсе, в качестве которого взят центр изгиба, и удовлетворяющая третьему уравнению (15.4), носит название эпюры главной секториальной площади.

Положение центра изгиба и секториальные характеристики се­чения на практике определяются в следующей последовательности.

Сначала выбирается положение полюса Р и строится эпюра секториальной площади   относительно полюса.

Далее определяются величины   и   относительно по­люса P и вычисляются координаты центра изгиба по формулам:

   и  .                                                                                                          (19.5)