Изгиб и кручение тонкостенных стержней, страница 4
Описание файла
Документ из архива "Изгиб и кручение тонкостенных стержней", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "строительная механика" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "строительная механика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Изгиб и кручение тонкостенных стержней"
Текст 4 страницы из документа "Изгиб и кручение тонкостенных стержней"
получим:
(15.22)
Учитывая выражения произвольных постоянных (15.22) из (15.19) и (15.20), будем иметь:
(15.23)
Здесь shx и chx гиперболический синус и гиперболический косинус, соответственно, аргумента x:
. (15.24)
Значения гиперболических функций при заданном аргументе приводятся в таблице 12.7.
В заключении, учитывая (15.23) и выражения усилий из таблицы 15.1, окончательно получим:
(15.25)
Заметим, что существует полная аналогия в основных зависимостях теории стесненного кручения стержней открытого и замкнутого профилей. Основные расчетные зависимости теории расчета стержней замкнутого профиля можно получить, путем замены в приведенных выше зависимостях для расчета стержней открытого профиля, уже известных нам секториальных координат и секториальных геометрических характеристик сечений , J и т.д., на обобщенные величины , и т.д., для замкнутого профиля.
При этом, главная обобщенная секториальная координата , для замкнутого профиля (рис.15.7), определяется:
Рис.15.7
где секториальная координата, вычисляемая по аналогии теории стержня открытого профиля; r длина перпендикуляра, опущенного из полюса А, взятого внутри контура, на касательную к контуру; параметр, условно называемый «средним радиусом» замкнутого контура; удвоенная площадь, охваченная срединной линией контура s; приведенная длина дуги данной точки контура.
Главный обобщенный секториальный момент сечения и секториальный статический момент для замкнутого контура определяются по формулам:
,
где .
15.5. Расчет тонкостенного стержня открытого профиля
Для тонкостенного стержня открытого профиля, изображенного на рис.15.8, а, при следующих исходных данных: H = 12,5102 м; B = 19102 м; l = 2 м; = 1102 м; P = 1 кН; E = 2105 МПа; G = 8104 МПа, требуется:
1. Определить площадь, положение центра тяжести, главные центральные моменты инерции поперечного сечения;
2. Найти положение центра изгиба;
3. Определить момент инерции при чистом кручении Jкр и секториальные характеристики сечения;
4. Вычислить изгибнокрутильную характеристику ;
5. Построить эпюры поперечной силы Qx, изгибающего момента My, момента чистого кручения Mz, изгибнокрутящего момента M, бимомента B;
6. Построить эпюры нормальных напряжений z, и их суммарную эпюру.
Рис.15.8
Решение:
1. Определение площади, положения центра тяжести и главных центральных моментов инерции
Вычислим расчетные размеры сечения стержня (рис.15.8, б, в), приняв в дальнейших расчетах:
м = const; м;
м.
Тогда
м2.
В выбранной системе координат x1y1, определим положение центра тяжести сечения: yc = 0;
Для этого построим эпюру координат x1 (рис.15.9, а) и вычислим статический момент сечения относительно оси y1:
м3.
Тогда координата центра тяжести сечения будет равна:
м.
Для вычисления главных центральных моментов инерции предварительно построим эпюру координат x и y (рис.15.9, б, в). С применением этих эпюр, определяются:
м4;
м4.
Рис.15.9
2. Определение положения центра изгиба
Вначале построим эпюру секториальных координат площади , в характерных точках (1, 2, 3, 4) профиля, выбрав произвольный полюс в точке B (рис.15.9, г):
м2;
;
м2.
Координаты центра изгиба вычисляем по формулам (15.5).
Используя эпюры и y и применяя правило Верещагина, вычисляем секториально линейный статический момент:
= 116,64108 м5.
Тогда координата центра изгиба по вертикальной оси принимает значение:
м.
Координата центра изгиба по горизонтальной оси вычисляется
Так как эпюра x симметрична, а эпюра обратно симметрична относительно x, то по правилу Верещагина секториальнолинейный статический момент равен нулю, т.е.:
.
Cледовательно, yА = 0 и поэтому центр изгиба лежит на оси x.
Вычислим постоянную D, предварительно построив эпюру секториальных площадей ' (рис.15.9, д).
При этом полюс расположим в центре изгиба (т. А). За начало отсчета возьмем точку 3 (произвольно):
м2;
м2;
м2.
Постоянную D вычисляется по формуле (15.6):
Далее вычисляем секториально статический момент , как произведение площади эпюры ' на :
м4 .
В этом случае величина постоянной D будет равна:
м2 .
Далее, используя зависимость (15.7), вычисляем секториальные координаты характерных точек профиля:
м2 ;
м2 ;
м2 ;
м2 .
По полученным координатам строим эпюру (рис.15.9, е).
3. Определить момент инерции при чистом кручении и секториальные характеристики сечения
Для корытообразного профиля поперечного сечения бруса (рис. 15.8, б), имеем: