Изгиб и кручение тонкостенных стержней, страница 3

Рис.15.5

В этом случае, очевидно, что и продольная сила N, и изгиба­ющие моменты M_x , M_y  равны нулю.

Касательные напряжения в поперечном сечении стержня в общем случае нагружения слагаются из касательных напряжений поперечного изгиба, простого (свободного) кручения, и наконец, из вторичных касательных напряжений, возникающих за счет стесненного кручения:

.                                                                                                                (15.13)

Следовательно, в общем случае нагружения в поперечных сечениях тонкостенного стержня возникают следующие внутренние усилия: Q_x, Q_y поперечные силы, от касательных напряжений _x, _y ; M_x, M_y изгибающие моменты, от нормальных напряжений _z ; M_z  кру­тящий момент свободного кручения от касательных напряжений _; B_  бимомент от действующих нормальных напряжений _, вследствии изгиба элементов тонкостенного стержня; M_  изгиб­нокрутящий момент от дополнительных касательных напря­жений _.

Формулы для вычисления перечисленных факторов даны в таблице 15.1, где приняты следующие обозначения: u, v  перемещения линий центров изгиба сечений в направлении координатных осей x и y;   соответственно, статические моменты относитель­но координатных осей и секториально статический момент отсе­ченной части сечения, расположенной по одну сторону от расчет­ной точки.

Все эти величины легко определяются, если известна функция (z). Последняя может быть найдена из условия равенства суммы крутящих моментов стесненного и свободного кручения полному крутящему моменту:

.                                                                                                                       (15.14)

Подставляя в (15.14) значения  и   из табл. 15.1, получим:

.                                                                                                      (15.15)

Дифференцируя (15.15) по z, имеем:

,                                                                                                (15.16)

или         

,                                                                                                               (15.17)

где   изгибнокрутиль­ная характеристика поперечного сечения стержня;  распре­деленный крутящий момент.

                                                                                                                                                                                      Таблица 15.1

Рис.15.6

Рассмотрим случай кручения, когда на свободном конце тон­костенного стержня, защемленного с другим концом, действует крутящий момент (рис.15.6). В этом случае имеем:

,                                                                                                                           (15.18)

интеграл которого записывается:

.                                                                            (15.19)

Откуда имеем:

                                                                              (15.20)

Для определения C₁, C₂, C₃ и C₄ с учетом граничных условий:

при z = 0,   и  ;

при z = l,   и  ,                                                                                                  (15.21)