Изгиб и кручение тонкостенных стержней, страница 2

,                                                                              (15.3)

где   и   секториальная площадь относительно нового Р₀ и старого полюса Р', соответственно; x_c, y_c, x₀, y₀  координаты центра изгиба и начала отсчета, соответственно.

15.3. Секториальные характеристики и их определение

Наряду с общепринятыми, для тонкостенных стержней вводят­ся дополнительные характеристики поперечных сечений.

Секториально статический момент поперечного сечения:

, м⁴ .

Секториально линейные моменты площади поперечного сечения:

 и  , м⁵ .

Секториальный момент инерции поперечного сечения:

, м⁶ .

Окончательные выражения секториальных характеристик, исхо­дя из предположения, что толщина тонкостенного сечения по все­му контуру постоянна и равна .

При поперечном изгибе или кручении всегда существует такая точка, относительно которой момент от касательных сил, возни­кающих в поперечном сечении, равен нулю. Эта точка называется центром изгиба или кручения. Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба или центр кручения совпадают с центром тяжести.

Положение центра изгиба (или кручения) не зависит от дейст­вующих на стержень сил, а зависит только от формы и размеров поперечного сечения тонкостенного стержня.

При стесненном кручении центр кручения, а также начало отсчета секториальной площади не могут быть выбраны произ­вольно. Эти точки должны быть выбраны так, чтобы секториально линейные моменты, а такжесекториально статический момент бы­ли равны нулю, т.е.:

                                                                                     (15.4)

Выполнение условий первых двух условий из (15.4) зависит только от выбора координат полюса. Выполнение же третьего из условий (15.4) зависит от выбора начала отсчета 0.

Эпюра  , построенная при полюсе, в качестве которого взят центр изгиба, и удовлетворяющая третьему уравнению (15.4), носит название эпюры главной сектроиальной площади.

Положение центра изгиба и секториальные характеристики се­чения на практике определяются в следующей последовательности.

Сначала выбирается положение полюса Р и строится эпюра секториальной площади   относительно полюса.

Далее определяются величины   и   относительно по­люса P и вычисляются координаты центра изгиба по формулам:

 и  .                                                                                                       (15.5)

Определяется секториальная площадь относительно центра из­гиба по формуле (15.3) и вычисляется секториaльно стaтический мо­мент поперечного сечения по формуле:

,

как площадь эпюры  , умноженную на  .

Далее определяется постоянная D из третьего условия (15.4) по формуле:

                                                                                                                                    (15.6)

и строится эпюра главной секториальной площади:

.                                                                                                                                (15.7)

15.4. Общий случай нагружения тонкостенного стержня.

Бимомент

В общем случае нагружения осевые перемещения сечения тон­костенного бруса можно представить в виде следующего выраже­ния:

,                                                                                                         (15.8)

где  ,   и   характеризуют: смещение по продольной оси z; поворот сечения как жесткого целого относительно координатных осей x и y;   удельный угол закручивания относительно продоль­ной оси z,    эпюра главнойсекториальной площади.

Нормальные напряжения в сечении, согласно закону Гука, в данном случае определяются согласно выражения:

.                                                                (15.9)

С учетом последнего выражения, формулы по определению внутренних силовых факторов от нормальных напряжений , при­мут вид:

                                                     (15.10)

Здесь через B_ обозначена новая силовая характеристика, назы­ваемая бимоментом, размерность которой будет кНм².

В результате совместного рассмотрения (15.9) и (15.10) выражение нормальных напряжений можно представить в следующем виде:

.                                                                                              (15.11)

Первые три слагаемых уже известные нам величины нормаль­ных напряжений из курса «Сопротивления материалов», являются результатом действия продольной силы и изгибающих моментов. Что же касается четвертого слагаемого, то оно характеризует изме­нения, вносимые в линейные законы распределения напряжений, депланацией сечения, силовой мерой которой является бимомент.

Заметим, что бимомент является самоуравновешенным фак­тором и по методу сечений не может быть определен. Следова­тельно, задача в общем случае нагружения тонкостенного стержня является статически неопре­делимой. Например, если на­грузить стержень двутаврово­го сечения четырьмя равны­ми силами Р (рис.15.5), бимо­мент в торцевом сечении бу­дет равен:

,                                                                                                                                     (15.12)

где    значение секториаль­ной площади для точки при­ложения силы P_i, т.е.:

.