Лекция3-механика_дыхания (Курс лекций по биомеханике), страница 2

Эта модель позволяет представить в простом виде некоторые закономерности. Количество бронхов в поколении:

где n – номер поколения.

Длина и диаметр путей экспоненциально уменьшаются:

При этом суммарная площадь путей быстро увеличивется:

Для сравнения, площадь трахеи см², площадь бронхов 19 поколения см², а площадь всех альвеол м².

Благодаря такой большой площади так легко протекает газообмен.

Исходя из графика, можно предположить, как поведут себя скорости потока в дыхательных путях. Там, где скорость маленькая, скорость линейного перемещения большая, и наоборот. Начиная с 17 поколения ветвления, скорость диффузионного перемещения становится сравнимой со скоростью конвективного перемещения газа. И далее, в более мелких дыхательных путях, основную роль играет диффузионное перемещение.

Кроме этой простой модели существуют также другие модели, например, модель несимметричного ветвления (Хорсфилд, Камминг). По этой модели дыхательные пути разветвляются несимметрично, но при этом каждый дыхательный путь разветвляется таким образом, что в следующем поколении дыхательные пути находятся в определенном соотношении размеров.

Параметры дыхательных путей

Модели позволяют оценить некоторые характерные параметры. В гидромеханике большую роль играют безразмерные параметры, характеризующие течение. Основной безразмерный параметр, характеризующий поток – число Рейнольдса – отношение сил инерции к силам вязкости.

Еще один параметр (размерный) – число Уомерслея – также характеризует отношение сил инерции, связанных с изменениям потока во времени, к силам вязкости:

где - радиус трубки, - угловая частота изменения скорости.

Видно, что в крупных дыхательных путях силы вязкости не играют никакой роли в сравнении с силами инерции, а в мелких все наоборот.

Основные уравнения гидромеханики

1. уравнение неразрывности (баланса массы):

- для газа

- для несжимаемой жидкости

При спокойном дыхании можно рассматривать газ как несжимаемую жидкость.

Если скорость движения газа становится сопоставима со скоростью звука, тогда при любом во времени течении газа надо учитывать. В случае динамических задач, когда меняется во времени из-за того, что меняются условия на границах, то возникает параметр, связанный с частотой изменения. Для тех частот, которые сопоставимы с акустическими частотами, два слагаемых в уравнении неразрывности сравнимы.

1. Уравнение Навье – Стокса для несжимаемой жидкости:

для газа это уравнение имеет вид

Здесь - описывает инерционные силы, связанные с изменением скорости по времени, а - описывает инерционные силы, связанные с изменением скорости в пространстве.

По смыслу число Рейнольдса – это отношение к

А число Уомерслея – отношение к

Картина потоков в бифуркации

На рисунке представлена бифуркация – родительская ветвь делится на 2 дочерние ветви. До точки бифуркации имеем параболическое распределение скоростей. Такой профиль имеется, когда родительская ветвь достаточно длинная и поток в ней успевает установиться. Затем в дочерней ветви происходит следующее: участки жидкости, имевшие максимальную скорость в материнской ветви, попадают на стенку дочерней ветви и начинают тормозиться. Тем не менее, какое-то время профиль скорости остается сдвинут – у внутренней стенки скорость больше, чем у внешней. В плоскости сечения в дочерней ветви образуются вихреобразные течения, амплитуда которых довольно большая (примерно 0,3 от аксиальной скорости). Кроме того, возле точки бифуркации на внешней стенке образуется область отрыва – т.е. в этом месте часть жидкости может оторваться от общего течения и возникнет обратное течение. Эта область отрыва есть только при остром угле и больших скоростях потока. До начала следующего ветвления дыхательных путей параболический профиль не устанавливается. Поэтому картина потоков в газообменной зоне довольно сложная.

Поскольку легкие – объемная конструкция, то для нас важно не то, как линейно перемещаются легкие, а на сколько изменяется объем. Удобно деформации характеризовать объемом, а силы – давлением. Тогда мы можем давление, которое мы прикладываем к легким, представить в виде некоторой функции от объема, скорости потока и т.д. При этом мы считаем систему дыхания системой с сосредоточенными параметрами, т.е. не учитываем, что в разных участках легких – разная картина.

В рамках этих представлений вводятся различные параметры:

1) сопротивление дыхательных путей:

где - поток, - альвеолярное давление.

2) перепад давления в дыхательных путях как функция потока

- уравнение Рорера

тогда

где , .

Дает несколько заниженные значения сопротивления.

3) При больших скоростях потока вследствие деформации дыхательных путей:

Зависимость бронхиального сопротивления от потока воздуха у здорового мужчины.

Если мы посмотрим на зависимость сопротивления дыхательных путей от скорости потока воздуха, то обнаружим:

Точками представлены измеренные значения сопротивления; линии - аппроксимации по закону:

Видно, что при больших скоростях потока сопротивление возрастает нелинейно:

10