Электронные лекции, страница 4

Тогда алгоритм оценки индуцированных в объекте токов сводится к следующим этапам: зная параметры внешнего поля и геометрические характеристики объекта, решается уравнение Лапласа, которое даёт распределение потенциалов внутри и на поверхности объекта. Затем, исходя из граничных условий, определяется распределение поверхностной плотности зарядов, после чего оценивается плотность тока в приповерхностных и более глубоких слоях биоткани (если имеются неоднородные по проводимости включения необходимо учитывать деформирование линий тока).

При этом необходимо помнить, что найденные таким образом токи в среде являются по своей физической природе компенсационными, т.е. возникают в результате компенсации поверхностными зарядами меняющегося во времени внешнего электрического поля.

Учитывая, что одним из важных механизмом действия ЭМП на биообъекты является взаимодействие электрических токов с биотканями, рассмотрим наиболее часто встречающиеся задачи, встречающиеся при разработке методов электрофизического воздействия на организм.

2.1.1. Переменное магнитное поле.

Пусть имеется сегмент тела или весь организм, помещенный в однородное по пространству и переменное по времени магнитное поле, вектор которого параллелен оси сегмента. Примем форму сегмента близкой цилиндрической (рис.2.1). В этом случае сегмент находится в поле с плотностью потока энергии, которая определяется вектором Пойнтинга.

Рис.2.1.

S =[E H], где H – напряженность магнитного поля, Е – напряженность индуцированного электрического поля. Величина последней находится с помощью теоремы о циркуляции, что для нашего случая даёт следующие соотношения:

(2.4)

S – здесь уже площадь контура

Электрическое поле создает в сегменте круговой ток с плотностью, которая определяется дифференциальным законом Ома:

j =  E =– gmm0wrH0 coswt/2

(2.5)

где  - проводимость среды.

Этот ток, в свою очередь, создает своё магнитное поле . Напряженность определяется как поле многослойного соленоида с внутренним радиусом, равным нулю, и внешним радиусом . Напряженность поля в точке А создаваемое элементарным соленоидом с внутренним радиусом r и внешним r+dr определяется формулой (рис. 2.1):

(2.6)

где I₁=jhdr – ток элементарного соленоида.

Суммируя магнитные поля от отдельных соленоидальных слоев при изменении радиуса от 0 до и учитывая (2.6), получим

	(2.7)

где - функция, зависящая от геометрических параметров. После чего нетрудно найти плотность потока мощности, которая оказывается пропорциональной и нелинейно распределяется по объёму сегмента.

2.1.2.Импульсные магнитные поля.

Если за время напряженность магнитного поля меняется на , то напряжённость вихревого электрического поля можно оценить как:

(2.8)

Аналогично предыдущим расчетам находится напряженность магнитного поля в теле и плотность потока энергии.

	(2.9)

2.1.3. Постоянное магнитное поле.

Если тело находится в постоянном во времени магнитном поле с напряженностью , которое неоднородно по пространству, то лишь при движении тела с некоторой скоростью V в нём возникает ЭДС индукции

Е_инд (рис. 2.2).

Рис. 2.2.

где l -размер тела; - угол между векторами и V.

Если магнитное поле однородно при постоянной скорости  , имеем Е_инд= const. Т.е. возникающее первоначально разделение зарядов в теле меняться не будет, следовательно, ток не течёт. При изменении скорости движения, либо при наличии пространственной неоднородности поля будет меняться Е_инд, а значит, изменяется поверхностная плотность компенсационного разряда _. В результате в теле течет ток с плотностью j.

Изменение поверхностной плотности заряда определяется как:

(2.10)

где – диэлектрическая проницаемость окружающей среды;

dE– изменение напряженности индуцируемого электрического поля. Поскольку

,

то

,

где

,

,

,

В результате получаем

(2.11)

Ток j создает магнитное поле напряженность которого определяется формулой:

(2.12)

Напряженность эквивалентного электрического поля (создающего такую же плотность тока) в теле находится на основе Закона Ома:

(2.13)

Плотность потока мощности, поглощаемого телом, составит в этом случае

(2.14)

2.1.4. Переменное электрическое поле.

Пусть имеется пространственно однородное электрическое поле с напряжённостью (в отсутствии тела) . Аппроксимируем тело (или сегмент тела) человека эллипсоидом вращения с большой и малой осями. Пусть вектор внешнего электрического поля направлен параллельно оси . Нормальная составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности тела представляется в следующем виде:

(2.15)

где  - угол полярной ориентации рассматриваемой точки поверхности, _.

Рассмотрим случай, когда напряжённость меняется по гармоническому закону: . Тогда в теле возникает ток с плотностью

(2.16)

Напряженность магнитного поля тока и напряженность эквивалентного электрического поля определяем как :

H= jr/2; E=j

отсюда получаем:

(2.17)

Если поле носит импульсный характер, то выражение для оценки плотности потока мощности примет следующий вид:

(2.18)

2.1.5. Постоянное электрическое поле.

Если тело неподвижно в постоянном во времени и однородном, либо неоднородном по пространству электрическом поле, то поглощение энергии происходить не будет. Ток в теле возникает при его движении. Изменение поверхностной плотности зарядов на поверхности тела определяем как

,

,

где - перемещение тела в направлении градиента _{, -} диэлектрическая проницаемость окружающей тело среды. Тогда плотности тока и потока мощности составят:

	(2.19)
	(2.20)

2.2. Распределение токов в неоднородных биотканях.

Рассмотренные в предыдущем разделе математические соотношения параметров внешних и внутренних полей предполагали физическую однородность биообъекта и не учитывали различие проводимостей биологических тканей. На практике неоднородность свойств присутствует на любом иерархическом уровне организации биообъекта.

Например, рассматривая ткани конечности, можно выделить кожные покровы, жировую и мышечную ткани, костную и сосудистую ткани, костный мозг и т. д.. В то же время, в кости мы различаем компактную и спонгиозную ткань, пронизывающие ткань макро- и микрососуды заполненные кровью, нервные стволы и т.д. Поэтому, говоря, к примеру, о проводимости костной ткани, мы понимаем, что это осредненный, интегральный показатель, вклад в который дают перечисленные выше составляющие.

В ряде практических задач нас интересует распределение полей и токов в макроскопически осредненных объемах биотканей. Каждую из тканей вполне можно рассматривать как однородную по своим физическим свойствам среду. Однако, часто возникает необходимость оценивать локальные параметры токов и полей, возникающих на границах раздела и в объемах микроскопических неоднородностей. Например, если необходимо рассчитать распределение индуцируемых токов в микрососудах, пронизывающих костную ткань при воздействии на конечность электромагнитных полей, то такую задачу целесообразно решать в несколько этапов.

На первом этапе рассматривают модель конечности, в которой присутствуют кожные покровы, мышечная и костная ткани, костномозговой канал. Задавшись геометрическими параметрами тканей и их проводимостями, рассчитывают распределение токов и полей в такой модели. На следующем этапе с учетом расположения сосудов относительно тела кости и внешнего поля рассматривают модель кровеносного сосуда, включающую внешнюю среду (тело кости), собственно стенку кровеносного сосуда и заполняющую его кровь. Полученные на первом этапе поля и токи будут внешними по отношению к кровеносному сосуду. Таким образом, расчет сведется к рассмотрению цилиндрического включения с заданной проводимостью стенок, заполненного проводящей средой (кровью), которое находится во внешнем поле с заданными характеристиками. Здесь мы не будем касаться допущений и погрешностей такого подхода. Отметим, что его реализация сводится к последовательному решению по сути однотипных задач. Для иллюстрации этого подхода рассмотрим типичную задачу, возникающую при таких расчетах.

Пусть имеется неограниченная среда с проводимостью , в которой находится достаточно протяженное цилиндрическое включение с внутренним радиусом _, внешним и проводимостью . Внутри цилиндра имеется среда с проводимостью . Кроме того, пусть при отсутствии включения в среде течёт однородный ток с плотностью , причем его направление перпендикулярно оси цилиндра (рис. 2.3). Необходимо найти распределение токов в такой системе.

Будем производить расчеты в центральной плоскости с тем, чтобы не учитывать эффекты конечной длины включения. В этом случае задача нахождения распределения электрического потенциала будет плоской и её решение является решением уравнения Лапласа для распределения электрического потенциала, которое в полярных координатах имеет вид

(2.21)

Общее решение уравнения Лапласа в полярных координатах определяется выражением

(2.22)

где константы определяются из граничных условий и особенностей рассматриваемой задачи.

Рис. 2.3. Цилиндрическое включение в поле постоянного тока.

В нашем случае, в силу симметрии задачи и, следовательно, в выражении (2.22) члены с отсутствуют. Рассмотрим сначала вид решения для внутренней области 2 .