Экзаменационные задачи с решениями по ДМС, страница 4

Решение задачи колебаний поперечных сечений для такого случая закрепления стержня было получено нами ранее. Поэтому сразу можно записать:

где коэффициенты и определяются на основании заданных начальных функций распределения деформаций и скоростей поперечных сечений стержня и . Из условия можно записать . Для нахождения коэффициентов составим следующее уравнение:

После ряда преобразований можно получить:

Окончательно получим:

Задача 3.

С тержень, движущийся с постоянной скоростью V вдоль оси z, ударяется об абсолютно жесткую преграду так, что в дальнейшем левое сечение остается жестко связанным с этой преградой. Найти зависимость колебаний поперечных сечений стержня.

Решение

На основании заданных условий можно составить функции начальных условий:

и .

Для случая колебания стержня с одним закрепленным концом можно записать:

На основании начальных условий можно сказать, что .

В результате:

Задача 4.

С тержень длиной , летящий со скоростью V вдоль оси z, в момент времени ударяется о стержень такой же длины. После этого они колеблются совместно без отрыва друг от друга. Найти закон осевого усилия в месте стыка стержней.

Решение

Для заданных условий можно легко составить начальные функции:

и

Первое условие аналогично предыдущей задаче, поэтому и

где

Осевые нагрузки в стержне при его колебаниях:

Полагая в этом выражении , получим:

Задача 1.

О пределить законы движения поперечных сечений стержня с жестко закрепленными концами, если в начальный момент времени t=0 он находился в покое и к середине его длины внезапно приложена постоянная сила P.

Используя заданные условия, можно записать:

и .

Общее решение можно записать следующим образом:

где амплитудная функция была определена ранее и имеет вид:

Тогда общее решение можно представить в виде:

Для определения временных функций воспользуемся тем же методом, что и в предыдущем случае, то есть методом возможных работ. Здесь так же совершают работу три силы: инерции, упругости и вынуждающая сила P.

Будем считать, что .

Определим работу сил инерции:

или

Работа сил упругости:

,

откуда

При определении работы силы P учтем, что она приложена к середине стержня, поэтому:

,

,

.

Таким образом, получим:

или

.

При нулевых начальных условиях решение этого уравнения определяется только интегралом Дюамеля:

Таким образом, общее решение имеет вид:

Задача 2.

О пределить динамические перемещения стержня, если на него действует равномерно распределенная по его длине сила .

При решении задачи будем считать, что в начальный момент времени t=0 балка находилась в равновесии, то есть и . Опять представим решение в виде произведения двух функций:

,

где амплитудная функция . Тогда решение можно выразить следующим образом:

где .

Для использования принципа возможных работ определим работу сил, действующих на стержень, на возможных перемещениях. Как и для предыдущей задачи, можно сказать, что на стержень действуют три силы: инерции, упругости и внешней нагрузки. Принимая , найдем работу этих сил. Используя результаты предыдущей задачи, можно записать:

; .

Несколько сложнее определяется работа внешней нагрузки, которая в нашем случае стала распределенной по длине стержня, поэтому:

Таким образом, составим сумму работ всех сил:

,

или

.

При нулевых начальных условиях решение этого уравнения записывается в виде интеграла Дюамеля:

.

После ряда тригонометрических преобразований и интегрирования получим:

До сих пор мы рассматривали продольные колебания стержней, хотя нами были составлены дифференциальные уравнения и для крутильных колебаний, и для поперечных колебаний струны. Поэтому решим еще несколько задач.

Задача 1 (самостоятельно)

Д ля системы, показанной на рисунке, составить частотное уравнение.

Общее решение можно записать с том же виде, что и для продольных колебаний стержня:

,

где амплитудная функция .

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся концевыми условиями:

Подставляя сюда общее решение, получим:

или

Выразим из первого выражения коэффициент D через C:

и подставим во второе уравнение:

Один из корней полученного уравнения соответствует частоте вращения системы как абсолютно жесткого тела.

Теперь решим две задачи на поперечные колебания струны.

Задача 2.

Составить дифференциальное уравнение малых колебаний струны, лежащей на упругом безынерционном основании, и определить собственные частоты колебаний. Натяжение струны равно , масса единицы длины – . При смещении струны из положения равновесия на нее действует восстанавливающая сила, пропорциональная смещению струны, коэффициент пропорциональности которой – C.

Д ля составления уравнения малых колебаний струны рассмотрим равновесие малого участка струны.

Составим сумму проекций сил на вертикальную ось:

Решение этого дифференциального уравнения будем искать в прежнем виде:

.

Подставим это решение в исходное уравнение:

или

Решение этого дифференциального уравнения будет иметь вид:

,

где постоянные интегрирования определяются из краевых условий и . Отсюда имеем:

и ,

иначе, для получения нетривиального решения должно быть:

Задача 3.

П о струне, лежащей на линейном безынерционном упругом основании, движется с постоянной скоростью V сосредоточенная нагрузка . Жесткость основания c, натяжение струны , масса длины единицы струны .

Определить прогибы струны в зависимости от скорости движения нагрузки. В начальный момент времени нагрузка находилась над левой опорой.

Будем искать решение задачи в виде произведения двух функций:

,

где вид амплитудной функции был определен нами в предыдущей задаче:

,

где .

После подстановки в получим хорошо известное нам выражение:

.

Таким образом, общее решение можно представить в виде суммы:

,

где функцию будем определять, используя принцип возможных работ.

Определим работу на возможном перемещении сил инерции:

Работа силы натяжения струны:

.

Работа упругого основания:

.

Работа силы :

.

Координата точки приложения силы является функцией времени , поэтому:

.

Таким образом, можно записать:

или

.

При нулевых начальных условиях решение этого уравнения можно записать в виде интеграла Дюамеля:

,

где .

После ряда преобразований найдем:

Общее решение в этом случае будет следующим: