Экзаменационные задачи с решениями по ДМС

Задача 1.

Определить собственную частоту системы, изображенной на рисунке. Считать, что перемещение рейки по барабану происходит без проскальзывания. Массой пружин пренебречь.

Решение

За обобщенную координату удобнее принять горизонтальное перемещение рейки x. В этом случае связь между перемещением рейки и углом поворота цилиндра имеет следующую зависимость:

.

Для составления дифференциального уравнения воспользуемся уравнением Лагранжа II-го рода.

Определим кинетическую энергию системы, которая в данном случае определяется энергией поступательного движения рейки массой m₁ и энергией вращения цилиндра массой m₂:

.

Для цилиндра момент инерции относительно продольной оси определяется как . Поэтому, учитывая, что , получим:

.

Потенциальная энергия системы определяется только деформацией пружин:

.

Теперь продифференцируем кинетическую и потенциальную энергии:

В итоге дифференциальное уравнение движения имеет вид:

.

Очевидно, что обобщенная масса системы , обобщенная жесткость системы .

Следовательно, собственная частота колебаний системы:

.

Задача 2.

Ц илиндр массой m и радиусом r лежит в желобе, имеющем радиус R. На верхней точке цилиндра закреплены две упругие растяжки жесткостью с_п каждая. Определить частоту свободных колебаний системы, считая, что проскальзывание цилиндра по поверхности отсутствует.

Решение

Для составления дифференциального уравнения движения такой системы опять воспользуемся уравнением Лагранжа II-го рода.

Кинетическая энергия системы складывается из двух составляющих: энергии вращательного движения цилиндра и энергии поступательного движения его центра масс:

, где

– момент инерции цилиндра,

φ – угол поворота цилиндра.

После несложного преобразования кинетическая энергия принимает вид:

.

Потенциальная энергия системы определяется энергией деформации растяжек и энергией изменения положения центра масс цилиндра. При повороте цилиндра на угол φ его верхняя точка перемещается на длину 2rφ. Причем, считая колебания малыми, будем считать, длину хорды и ее проекцию на горизонталь практически одинаковыми, тогда выражение для потенциальной энергии деформации растяжек принимает вид:

.

Д ля нахождения величины изменения потенциала силы тяжести сделаем дополнительный рисунок. Из него видно, что .

Синус угла ψ легко выражается из ΔO₁OA:

.

Таким образом, , а изменение потенциала силы тяжести:

.

Полная потенциальная энергия системы:

.

Дифференцируя кинетическую и потенциальную энергии, получаем:

.

Окончательно получаем дифференциальное уравнение:

.

В результате:

.

И собственная частота системы:

.

В этой задаче мы рассмотрели колебания механической системы в поле силы тяжести. Однако существует довольно широкий круг задач, в которых колебания осуществляются в других силовых полях. Например, в поле центробежных сил.

Задача 3

Д ля гашения крутильных колебаний на маховик устанавливают дополнительные массы, представляющие собой маятник в поле центробежных сил. Определить собственную частоту колебаний такого маятника, считая, что он обладает массой m и моментом инерции относительно точки подвеса J_B.

Решение

Для составления дифференциального уравнения колебаний маятника воспользуемся квазистатическим методом. Рассмотрим силы, действующие на маятник.

Считая колебания малыми, запишем уравнение моментов всех внешних сил относительно точки подвеса В:

.

Для определения неизвестных величин R и α запишем следующие соотношения (см. дополнительный рисунок):

Полагая, что sinα=α, подставим все полученные соотношения в исходное уравнение:

Таким образом, обобщенная масса a=J_B, обобщенная жесткость c=mω²rl, и собственная частота колебаний:

.

Задача 1.

Н а абсолютно жестком стержне длиной 2l подвешен груз массой m. К середине стержня прикреплены две пружинки жесткостью с каждая. Груз находится в сосуде с вязкой жидкостью. Определить коэффициент вязкого трения системы, если период затухающих колебаний Т=1 с. Масса груза m=10 кг, длина l=15 см, диаметр пружины D=2 см, диаметр поперечного сечения витков d=2 мм, модуль упругости пружины G=8∙10⁶ Н/см², число витков i=6.

Решение

В общем случае уравнение движения системы имеет вид:

.

Величину коэффициента вязкого трения системы b можно определить из зависимости:

.

Параметр n можно определить из условия, что период колебаний системы T=1 c:

.

Таким образом, для решения задачи необходимо определить обобщенную массу системы a и собственную частоту k. Поэтому составим дифференциальное уравнение движения системы. В данном случае логично воспользоваться квазистатическим методом.

, или

.

Откуда:

, где .

.

.

.

Задача 2.

Диск жестко закреплен на валу и удерживается от вращения пружиной, закрепленной одним концом на диске, а другим – на опоре вала. Считая момент инерции диска J и зазоры между диском и поверхностями трения м алыми, составить дифференциальное уравнение малых колебаний диска. Принять, что в момент времени . Определить закон движения системы и ее период колебаний. При решении задачи считать, что пружина при деформации создает момент, пропорциональный углу поворота диска , и продольную силу, также пропорциональную углу поворота диска .

Решение

В данном случае для составления уравнения движения системы проще всего воспользоваться квазистатическим методом. Запишем сумму моментов, действующих на систему:

.

Величину момента трения легко можно определить через нормальную силу:

, где

μ – коэффициент трения, N – нормальная сила, R – радиус трения.

По условию задачи нормальная сила прямо пропорциональна углу поворота диска, поэтому:

, где .

Таким образом, получили, что момент трения является функцией двух переменных: угла поворота φ и угловой скорости . Так как в системе присутствует «сухое» трение, то она явно нелинейна. Для решения дифференциального уравнения логично воспользоваться методом припасовывания.

По условию задачи в начальный момент времени диск был отклонен на величину и отпущен с начальной скоростью . После восстановления диск под воздействием восстанавливающей силы начнет двигаться в сторону равновесного положения с отрицательной скоростью, то есть момент трения должен быть положительным. Поэтому уравнение движения будет иметь следующий вид:

, или .

Решение такого уравнения нам хорошо известно и имеет вид:

,

где , С₁ и C₂ ­– постоянные интегрирования.

С учетом заданных начальных условий С₁=0, и .

При переходе через равновесное состояние ( ) изменяется знак обобщенной координаты и она становится отрицательной, что отражается и на знаке момента трения. Однако направление его действия осталось прежним: он направлен в сторону, противоположную скорости движения системы. Очевидно, что это обстоятельство необходимо учесть в дифференциальном уравнении движения системы:

или .

Решением этого уравнения будет функция:

,

где , В₁ и В₂ ­– постоянные интегрирования, которые можно определить из начального условия движения системы. То есть будем считать, что начало момента времени на данном этапе . Начальная координата , а начальная скорость движения на этом этапе может быть определена из предыдущего этапа:

;

.

Из этих начальных условий имеем: В₂=0, .

В результате:

При достижении крайнего положения в отрицательной области значений обобщенной координаты, система остановится и начнет движение в противоположную сторону с положительной скоростью. Время достижения этого крайнего положения легко определяется из вышесказанного:

.

После прохождения этого крайнего положения наступит третий этап движения системы. На этом этапе изменяет направление скорость движения, а, следовательно, и направление момента трения, что необходимо отразить это в дифференциальном уравнении:

или .

Решение этого дифференциального уравнения записывается в виде:

Для определения постоянных интегрирования D₁ и D₂ опять примем, что в момент начала третьего этапа t=0. Кроме того, из решения на предыдущем этапе можно определить начальные значения для этого этапа обобщенных координат и скорости. Очевидно, что:

Используя эти условия, получим:

тогда:

В момент времени t₃ система пройдет через положение равновесия. Величину t₃ можно легко определить:

.

После прохождения положения равновесия наступает четвертый этап движения системы, который характеризуется положительными значениями обобщенной координаты и обобщенной скорости. Это должно отражаться и на дифференциальном уравнении:

или ,

решение которого можно представить в виде:

.

Для определения постоянных интегрирования Е₁ и Е₂ воспользуемся состоянием системы в конце предыдущего этапа, а именно: