Генераторы для тушения и резки (Раздаточные материалы), страница 5

Формирование аналитической математической модели ЖРДМТ основано на составлении дифференциальных уравнений рабочих процессов в агрегатах двигателя.

3.2.1Уравнение динамики электромагнитного клапана.

Из работы /²⁴/ следует, что без учета сил трения покоя, перемещение подвижной части электромагнитного клапана может быть записано в виде следующих дифференциальных уравнений:

(14)

(15)

где i - ток в обмотке электромагнита;

z – перемещение сердечника электромагнита;

L=F(i;z) – коэффициент самоиндукции;

R – активное сопротивление обмотки;

U – напряжение подаваемое на обмотку электромагнита;

- суммарная масса подвижных частей;

K _{ж. тр.} - коэффициент жидкостного трения;

- сумма сил, действующих на подвижную часть электромагнита со стороны пружины и давления подачи топлива;

- электромагнитная движущая сила.

Уравнение (14) можно преобразовать так:

В последнем выражении примем и т.к. перемещение сердечника клапана малы, а изменения L по i при этом незначительно. С учетом принятых допущений (14) имеет вид:

(16)

Введем обозначение правой части уравнения (15) в виде F( ), в котором выражение для разности усилий получено из линеаризированного уравнения =K_ii+K_zz, где K_i и K_z постоянные величины, которые определяются частными производными

и

При этом (15) принимает вид

(17)

где F( ) – релейная функция .

Если в виду малого хода подвижных частей клапана принять условием K_z=0, то
=K_i i, а F( ) соответствует следующей записи:

при i  i_ср, =0

при i i_ср, =К_i.

где i_ср – ток срабатывания в обмотке электромагнита.

3.2.2Уравнение динамики магистралей топливоподачи

Для составления уравнений динамики разобьем магистраль топливоподачи на характерные для ЖРДМТ участки, как это показано на (рис 37).

Схема магистрали топливоподачи

Рис. 38

Как известно, движение жидкости по трубопроводам можно описать системой дифференциальных уравнений в частных производных. Для однокомпонентной изотропной жидкости эти уравнения при отсутствии внешних сил имеют вид:

(18)

где - плотность жидкости

w - скорость движения жидкости

- коэффициент кинематической вязкости жидкости.

Эти уравнения предполагают постоянство внутренней энергии жидкости.

В одномерном случае имеем:

(19)

Строгое решение системы уравнений например, для первого участка, требует граничных условий р_х=0=р_б и р_х=l=р_кл, а также дополнительной связи между р и . Решение задачи, даже в одномерной постановке, представляет определенную сложность. Поэтому применим упрощение, заменим второе уравнение системы (19) уравнением (см /²⁵/):

(20)

где - массовый расход топлива

- перепад давления на рассматриваемом участке.

Это уравнение получено из аналогичного, но записанного в форме

(21)

введением обозначений М=b/a и N=1/a. В уравнении (21) постоянный коэффициент a учитывает изменение давления от изменения кинетической энергии жидкости по длине магистрали, связанное с преодолением сил инерции столба жидкости при условии, что поперечное сечение магистрали постоянно. Коэффициент b отражает изменение кинетической энергии жидкости, связанное с изменением расхода. Для трубопровода постоянного сечения

a=l/F, b=1/(2 F²)

где l – длина трубопровода;

F – поперечное сечение;

- коэффициент истечения трубопровода.

Уравнением (20) можно пользоваться при описании динамических процессов для каждого из участков магистрали топливного тракта ЖРДМТ.

Для первого участка магистрали уравнение динамики примет следующий вид:

(22)

где р_б-р_кл – разность давлений в начале и конце участка, которая получена из динамического баланса давлений с учетом различных скоростей движения топлива в баке и трубопроводе.

,

Для тракта питания ЖРДМТ давление в баке р_б является исходным параметром. В этом случае в уравнении (22) неизвестными являются два параметра: расход через магистраль и давление в конце участка р_кл. Решение задачи в этом случае требует применения дополнительного уравнения, которым будет являться уравнение сохранения массы для рассматриваемого участка в виде:

(23)

где массовый расход топлива на втором участке.

Принимая во внимание сжимаемость реальной жидкости, воспользуемся соотношением из работы /²⁶/:

где – плотность жидкости при установившемся режиме течения;

- коэффициент объемной упругости жидкости.

С учетом этого соотношения уравнение (23) примет вид

Откуда следует

Податливость стенок трубопроводов обнаруживается связью .

При этом получим

В применении к трактам питания ЖРДМТ из-за низких уровней давления подачи и жестких стенок трубопроводов малых сечений, принимаем . Обозначая множитель перед производной в последнем уравнении через Q, окончательно получим

(24)

В полученной системе уравнений (22), (24) неизвестным является расход , который определяется параметрами второго участка. Вторым участком тракта питания ЖРДМТ является клапанная полость двигателя (рис 39). Ввиду её малого объема можно пренебречь инерцией массы жидкости в клапанной полости. В этом случае в уравнении (20) левая часть обращается в нуль, и оно сводится к виду:

(25)

где р_ф – осреднённое давление в заклапанной полости перед форсунками двигателя.

Это давление определяется из уравнения сохранения массы, как и для первого участка:

где V₂ – объем клапанной полости двигателя, который следует считать постоянным в силу жесткости конструкции.

В этом случае левую часть последнего уравнения можно записать

а уравнение примет вид

где

(26)(3.13)

Уравнение расхода жидкости для третьего участка магистрали необходимо рассматривать в полной форме (20), т.е. с учетом инерции массы жидкости, несмотря на малые объемы заклапанной полости. Это вызвано тем обстоятельством, что скорость движения жидкости в каналах велика, а формирование характеристики пуска и останова
ЖРДМТ в значительной степени определяется динамическими процессами, протекающими в заклапанной полости двигателя:

(27) (3.14)

Комплекс М₃а₃=b₃ [ см. уравнения (20), (21)] определяется по результатам проливок форсунок и заклапанных полостей двигателя, а коэффициент а₃ из уравнения неразрывности в виде

(28)(3.15)

где w₃ – осредненная скорость жидкости на третьем участке;

- осредненный расход на этом участке;

F_3э – эквивалентная площадь проходного сечения третьего участка.

Умножив правую и левую части равенства (28) на l₃ – длину магистрали третьего участка и имея в виду, что , где m₃ – масса жидкости в третьем участке, получим:

откуда легко видеть, что так как коэффициент является константой перед производной массового расхода [см. уравнение (21)]. Параметр N₃ – теперь легко определить как величину обратную .

Расход на выходе из третьего участка магистрали питания двигателя однозначно определяется уравнением (27)(3.14), в котором давление в конце участка р_к, в свою очередь, определяется внутрикамерными процессами. По параметрам этого уравнения система питания стыкуется с уравнением динамики камеры сгорания, причем расход m₃ является входной величиной в камеру сгорания, а по давлению р_к осуществляется отрицательная обратная связь камеры с системой питания.

Окончательно для одной линии питания топливом двигателя система уравнений динамики магистрали топливоподачи ЖРДМТ имеет вид

Маг. 1

Маг. 2

(29)(3.16)

Маг. 3

3.2.3Уравнение динамики камеры сгорания

Сначала получим уравнение динамики камеры сгорания для «классического» случая когда соотношение компонентов топлива поступающего в камеру постоянно.

Для описания динамики рабочих процессов в камере ЖРДМТ примем уравнение, полученное из закона сохранения масс, в форме, предложенной в работе /Error: Reference source not found/:

, (30)(3.17)

где - масса газа в камере сгорания;

- время запаздывания воспламенения компонентов топлива;

- суммарный расход газов через сопло двигателя;

- массовый расход компонентов топлива, поступающих на вход в камеру сгорания.

Индекс в уравнении (30) показывает, что переменные взятые в скобки, зависят от разности времени т.е.

и

Известно, что

где р_к - давление, осреднённое по обьему камеры сгорания;

V_кс - объем камеры сгорания;

Т_кс - осреднённая температура газа в камере сгорания;

- относительная молекулярная масса газа;

- универсальная газовая постоянная.