Полагая

получим равенство математических ожиданий

M(s²) = M(s₁²) = M(s₂²) = ².

Дисперсионное соотношение можно записать в виде

.

Нулевая гипотеза является сложной гипотезой, связанной с параметрами m₁, m₂, ... , m_n, о которых не делается никаких предположений. Каковы бы ни были значения m и ², вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, в случае, когда эта гипотеза в действительности верна, равняется P(|z|>z_p)=. Таким образом критическое множество, соответствующее критерию z, подобно пространству выборок, и z-критерий есть критерий уровня . Результаты программных расчетов простой группировки сводятся в таблицу 1. дисперсионного анализа.

Таблица

4.1.

Таблица дисперсионного анализа

Изменчивость	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средние квадраты
Между группами	r-1
Внутри групп	n-r
Сумма	n-1

Каждое из трех чисел в столбце "средних квадратов" при нулевой гипотезе дает несмещенную оценку для дисперсии совокупности ² и z-критерий можно считать критерием совместности независимых оценок s₁² и s₂².

Для любого заданного ij величина имеет нормальное распределение с параметрами .

В результате величина имеет распределение Стьюдента с n-r степенями свободы. Работая с -процентным уровнем значимости, получаем доверительные пределы для разности между двумя неизвестными групповыми средними значениями: .

Statistica. Используя модуль ANOVA-MANOVA проведем анализ значимости различия между фактическими и плановыми объемами перевозок для всех колонн автокомбината. На рис.1. приведены результирующие формы регрессионного и дисперсионного анализа.

В регрессионном анализе (рис.1.а) основной задачей было построение регрессионной прямой, отклонение точек от которой трактовалось бы как ошибка прогноза плановых объемов. В дисперсионном анализе цель другая. Группируются все значения показателей (рис.1.б). В квадрат диаграммы включается 50% всех значений. В результате видно, что для 50% точек плановые показатели превышают фактические.

Регрессия и изменчивость

а)		б)
	Рис.		4.1.

В таблице 2. приведены суммы квадратов и F-отношение для оценки влияния фактора времени.

Таблица

4.2.

Сравнение плановых и фактических объемов

	Sum of Squares	df	Mean Square	F	p-level
Effect	847,59	1	847,5864	12,51885	0,000417
Error	90047,43	1330	67,7048

Анализ таблицы показывает, что с уровнем ошибки p<0,0004 принимается гипотеза о существенном различии плановых и фактических объемов, что может потребовать пересмотра стратегии прогноза объемов и разработки планов.

4.5 Однофакторный дисперсионный анализ

Простейшим случаем дисперсионного анализа является однофакторный анализ. Нулевая гипотеза H равносильна утверждению, что все параметрические функции некоторого класса имеют нулевые значения. Каждый раз, когда по F-критерию H отвергается, можно одним из методов множественного сравнения решить, какая параметрическая функция рассматриваемого класса отличается от нуля и как велико это отличие.

Термин однофакторный анализ (или классификация по одному признаку) относится к сравнению средних нескольких одномерных групп показателей. Обозначим средние значения характеристик через ₁, ₂, ... , _n. Допустим, что группы нормально распределены и имеют равные дисперсии ².

Имеется независимые выборки объемов J₁, J₂, ..., J_m. Тогда основные предположения заключаются в следующем:

y_ij=_i+_ij, i=1..I; j=1..J_i; _ij ~ N(0,²)

Нулевая гипотеза состоит в проверке равенства:

H₀: ₁=₂=…=_m.

По F-критерию гипотеза H₀ отвергается с заданным уровнем значимости  тогда и только тогда, когда F*>F_{(,I-1,N-I)}. При выполнении основных предположений F-статистика имеет центральное F-распределение.

Однофакторный анализ выполняется на основе тех же таблиц, которые были рассмотрены при простой группировке величин.

Statistica. Рассмотрим динамику изменчивости показателя технической готовности автоколонн. В данном случае группирующим фактором будет анализируемый год. На рис.2. приведена диаграмма коэффициента технической готовности в зависимости от года.

Изменчивость коэффициента технической готовности

Рис.

4.2.

Из диаграммы видно, что существует явное снижение коэффициента технической готовности. Так если в 1995 году в 50% случае он был очень близок к 0.88, то в 1997 году его уровень понизился до 0.8.

Таблица 3. представляет таблицу дисперсионного анализа оценки существенности влияния фактора времени на коэффициент технической готовности.

Таблица

4.3.

Таблица дисперсионного анализа

	Sum of Squares	df	Mean Square	F	p-level
Effect	,6007109	2	,3003554	77,12	0,01
Error	2,6520180	681	,0038943

В результате расчетов также получен о значение F-отношения, которое равно 77,12, что соответствует уровню значимости 0.01. Таким образом следует сделать заключение о существенном падении коэффициента технической готовности всех автоколонн.

4.6 Двухфакторный дисперсионный анализ

Предположим, что в ходе эксперимента меняются два фактора A и B. Рассмотрим случай, когда имеется K измерений для каждой комбинации уровней первого и второго фактора (i,j). В результате модель дисперсионного анализа примет вид:

y_ijk=_ij+_ijk, i=1..I; j=1..J; k=1..K; _ijk ~ N(0,²).

Коэффициенты _ij могут быть преобразованы к виду:

_ij=_**+(_i*-_**)+(_*j-_**)+(_ij-_i*-_*j+_**),

где _** - полностью усредненный отклик;

(_i* - _**) - средний эффект первого фактора на уровне i;

(_*j - _**) - средний эффект второго фактора на уровне j;

(_ij - _i*-_*j + _**) - взаимодействие между первым и вторым факторами на уровнях i и j.

Модель, в которой по предположению нет взаимодействия, называется аддитивным планом с двумя признаками. В результате, получим модель:

y_ijk=+_i+_j+_ijk, i=1..I; j=1..J; k=1..K; _ijk ~ N(0,²)

в которой вводится новая параметризация:

=_**; _i=_i*-_**; _j= _*j- _**;

Параметры _i и _j удовлетворяют условию . При таком описании модели необходимо решить две задачи: вычисление размерности к пространства (число степеней свободы); вычисление оценки параметров.

Поскольку линейные ограничения введены только для того, чтобы параметризация стала идентифицирующей, подсчет степеней свободы эквивалентен вычислению ранга r матрицы F из соотношения

Утверждение. Число степеней свободы модели двухфакторного анализа равно r=I+J-1.

Задача вычисления оценок параметров дисперсионной модели сводится к задаче минимизации функционала:

.

Решение задачи оптимизации является решением системы уравнений:

.

Непосредственное дифференцирование введенного функционала дает следующие результаты:

Решая полученную систему уравнений приходим к результатам:

Уравнение (1) и условие дает .

Уравнение (2) и условие дает .

Уравнение (3) и условие дает .

В результате для оценки отклика справедливо соотношение:

.

F-статистика для проверки гипотезы H₀:₁=₂=...=_I имеет такой же вид, как и для плана с одним признаком для I генеральных совокупностей и JK наблюдений на ячейку:

и определяется выражением, представленным в табл.4.

Таблица

4.4.

Таблица дисперсионного анализа

	Сумма квадратов	Степени свободы
Первый фактор		I-1
Второй фактор		J-1
Остаток		N-I-J+1
Полная сумма		N-1
	Средние квадраты	F-отношение
Первый фактор
Второй фактор
Остаток

Если гипотеза H верна, то статистика имеет F-распределение с J-1 и N-I-J+1 степенями свободы.