Московский Государственный Технический Университет

им. Н. Э. Баумана

Домашнее задание по курсу «Управление техническими системами»

по теме:

«Исследование САУ на устойчивость»

Выполнил: Корсаков С.В.

Проверил: Шацкий О.Е.

Москва

2004

Исходные данные берутся из ДЗ№1, откуда берется и передаточная функция исследуемой системы:

К₁ = 1 – коэффициент усиления камеры сгорания;

– время пребывания в камере сгорания;

– постоянная времени регулятора давления;

– логарифмический декремент затухания;

K₂ = 0.05 – коэффициент усиления регулятора давления.

Передаточная функция разомкнутой цепи:

1. Д-разбиение

Для проведения анализа системы на устойчивость методом Д-разбиения, вводится обратная единичная связь, после чего схема размыкается, и мы получаем новую передаточную функцию:

При анализе особый интерес представляет знаменатель передаточной функции D(S), который характеризует качество процесса:

Для исследования на устойчивость выбираем мягкие параметры – А = K₂ и B = T₂.

Далее записываем характеристическое уравнение для D(S) с учетом выбранных мягких параметров:

Введем следующие коэффициенты:

a₀ = T₁B² = 0.00355B²­­­­

a₁ = 2T₁DB + 2B² = 0.00355B + 2B²

a₂ = T₁ + 4DB = 0.00355 + 2B

a₃ = 2 + A

Тогда уравнение примет вид:

Исходя из характеристического уравнения, определим границы устойчивости:

1. Граница устойчивости по нулевому корню.

При  = 0 из уравнения получаем: a₃ = 0, то есть A = -2

1. Граница устойчивости по - корню.

Используя оригинал уравнения:

При  = -, то теряет свое первое слагаемое, то есть характеристическое уравнение должно быть понижено на один порядок. Это может быть только тогда, когда a₀ = 0, то есть B = 0 – граница по - корню.

1. Колебательная граница устойчивости.

В этом случае корни чисто мнимые, поэтому вместо  подставляем (i):

Раскладываем уравнение на действительную и мнимую часть:

Отсюда выражаем:

Соответственно:

Графики A() и B():

Таким образом, колебательная граница устойчивости имеет вид:

Проведем проверку на конформность, чтобы определить с какой стороны расположена область устойчивости:

Определитель:

Таким образом, видно, что для конформности оригинала и изображения при использовании B₁ <0.

Получив три границы устойчивости, мы можем, учитывая физический смысл параметров А и В, построить предполагаемую область устойчивости.

Так А – постоянная регулятора давления, то A>0, поэтому сдвигаем границу A=-2 вверх.

Получаем следующую область:

Предполагаемая область устойчивости

Теперь необходимо проверить, на самом ли деле предполагаемая область является областью устойчивости. Для этого составим матрицу Гурвица для проверки точек на границе, в области устойчивости и за областью.

1. Точка внутри области (A = 0.4, В = 0,001):

Поскольку все миноры положительны – условие выполняется

1. Точка вне области (A = 20, B = 0.002)

Два минора отрицательны – условие выполняется

1. Точка на границе (А = 13.2, B = 0.0092)

Один минор равен нулю – условие выполняется

Таким образом можно утверждать, что предполагаемая область устойчивости в самом деле является действительной областью устойчивости.

1. Исследование системы с помощью годографа Михайлова

Здесь будут рассмотрены два случая: 1) исходная система не известна, поэтому необходимо замкнуть ее обратной единичной связью. Передаточная функция такой системы будет обозначаться: W_раз’. Годограф показывается сплошной линией; 2) исходная система известна, поэтому нет необходимости замыкать обратной связью. Передаточная функция такой системы будет обозначаться как W_раз. Годограф показывается прерывистой линией.

Реальная и мнимая части (соответственно):

Реальная и мнимая части (соответственно):

Анализ кривой Михайлова

Поскольку рассматриваются полиномы 3степени, то полное приращение аргумента равно 3*/2 = 270  при изменении  от 0 до . Как видно из графика кривые последовательно проходят 1 и 2 квадранты, вращаясь против часовой стрелки, и уходят на бесконечность в третьем квадранте, стремясь к углу 270 . Таким образом можно сделать вывод, что система устойчива.

Построение АФЧХ для кривой Михайлова

Подставляем вместо S значения i:

Вводим обозначения

A₀ = T₂²

A₁ = 2DT₂

A₃ = 1

A₄ = T₁T₂²

A₅ = 2T₁DT₂ + 2T₂

A₆ = T₁ + 4DT₂

A₇ = 2 + K₂

Выражение примет вид:

Умножаем числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число знаменателя:

Реальная и мнимая части:

Подставляем вместо S значения i:

Вводим обозначения

B₀ = T₂²

B₁ = 2DT₂

B₃ = 1

B₄ = T₁T₂²

B₅ = 2T₁DT₂ + 2T₂

B₆ = T₁ + 2DT₂

B₇ = 1 + K₂

Выражение примет вид:

Домножаем числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число знаменателя:

Реальная и мнимая части:

АФЧХ

Поскольку график характеристики не охватывает точку с координатами (-1;0), то система устойчива.

1. Построение кривой Найквиста

Найквист вводит дополнительную передаточную функцию:

Затем, пользуясь методом Михайлова строится АФЧХ

Вводим обозначения

С₀ = T₂²

С₁ = 2DT₂

С₃ = 1

С₄ = T₁T₂²

С₅ = 2T₁DT₂ + 2T₂

С₆ = T₁ + 2DT₂

С₇ = 1 + K₂

Выражение примет вид:

Умножаем числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число знаменателя:

Реальная и мнимая части:

Поскольку годограф не охватывает точки (0;0), можно сделать вывод. Что система является устойчивой.