Считается, что для работы системы необходимо три работающих элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в холодном резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

1. Граф состояний системы.

За состояния системы примем количество неисправных элементов системы. Будем считать, что в системе одно восстанавливающее устройство, тогда граф состояний системы примет следующий вид

Состояния 0~2 – рабочие;

Состояние 3 – состояние отказа.

1. Расчет основных характеристик системы.

Для определения вероятности безотказной работы составим систему дифференциальных уравнений, соответствующих состояниям системы, исключив переход из состояния отказа в предотказовое:

В начальный момент времени все элементы системы находятся в работоспособном состоянии: P₀(0)=1, P₁(0)=0, P₂(0)=0, P₃(0)=0.

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система принимает вид:

Для проведения дальнейших расчётов воспользуемся программой Mathcad. Перепишем систему в следующем виде:

И в результате получим систему из 4-х уравнений:

1. Вероятность безотказной работы.

Для определения вероятности безотказной работы необходимо применить к системе обратное преобразование Лапласа и подставить заданные значения для интенсивности отказов λ, интенсивности восстановления μ и времени работы t.

После обратного преобразования Лапласа и подстановки значений , система примет вид:

Функцию вероятности безотказной работы системы, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

Подставив заданные значения , , , получим:

Зависимость вероятности безотказной работы от времени работы системы представлена на рисунке 2.3.2.

Рис. 2.3.2. Зависимость вероятности безотказной работы от времени работы системы.

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности отказа элементов λ представлена на рисунке 2.3.3:

Рис. 2.3.3. Зависимость вероятности безотказной работы от времени работы системы для различных значений интенсивности отказа элементов.

P - вероятность безотказной работы при = 0.0005 1/ч

Pl3 - вероятность безотказной работы при = 0.0003 1/ч

Pl8 - вероятность безотказной работы при = 0.0008 1/ч

Как видно из графиков, увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы.

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности восстановления элементов μ представлена на рисунке 2.3.4.

P - вероятность безотказной работы при = 0.001 1/ч

Pu3 - вероятность безотказной работы при  = 0.003 1/ч

Pu10 - вероятность безотказной работы при  = 0.0001 1/ч

Из графика видно, что увеличение интенсивности восстановления влечет за собой увеличение вероятности безотказной работы системы.

Рис. 2.3.4. Зависимость вероятности безотказной работы от времени работы системы для различных значений интенсивности восстановления.

1. Среднее время безотказной работы.

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для значений , :

Зависимость среднего времени безотказной работы от интенсивности отказов элементов для приведена в таблице 2.1.1. С увеличением интенсивности отказов среднее время безотказной работы уменьшается.

0.0002	15185
0.0005	3185
0.005	209

Табл. 2.1.1. Зависимость среднего времени безотказной работы от интенсивности отказов.

Зависимость среднего времени безотказной работы от интенсивности восстановления элементов для приведена в таблице 2.1.2. С увеличением интенсивности восстановления среднее время безотказной работы не меняется.

0.01	40518
0.001	3185
0.0001	2091

Табл. 2.1.2. Зависимость среднего времени безотказной работы от интенсивности восстановления.

1. Коэффициент готовности.

Нахождение Кг методом дифференциальных уравнений.

Для графа состояний рассматриваемой системы (см. п. 2.1.2.) система дифференциальных уравнений имеет вид:

В начальный момент времени все элементы системы находятся в работоспособном состоянии: P₀(0)=1, P₁(0)=0, P₂(0)=0, P₃(0)=0.

Если предположить, что потоки стационарны, то есть = 0, , , то можно получить следующую систему:

Исключая, например, третью строку как линейно зависимую от двух первых и четвёртой, можно получить следующую систему уравнений:

Для проведения дальнейших расчётов воспользуемся программой Mathcad. Перепишем систему в следующем виде:

Решением системы будет:

Для значений , вероятности нахождения системы в каждом из состояний принимают следующие значения:

Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности отказов  приведена на рисунке 2.3.5.

Рис. 2.3.5. Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности отказов

Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности восстановления  приведена на рисунке 2.3.6.

Рис. 2.3.6. Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности восстановления

1. Наработка на отказ:

=

Для заданных значений: Кг( , ) = 0.53125,

= 1407 часов

Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов представлена на рисунке 2.3.7.

Рис. 2.3.7. Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов.

Зависимость времени наработки на отказ от интенсивности восстановления представлена на рисунке 2.3.8.

Рис. 2.3.8. Зависимость времени наработки на отказ от интенсивности восстановления.

1. Среднее время восстановления системы:

для = 0.001

Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности восстановления приведена на рисунке 2.3.9.

Рис. 2.3.9. Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности восстановления.

1. Вероятность успешного использования системы:

Для заданных значений и

Зависимость вероятности успешного использования системы от времени представлена на рисунке 2.3.10.

Рис. 2.3.10. Зависимость вероятности успешного использования системы от времени.

Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности отказов λ при  = 0.001 приведена на рисунке 2.3.11.

Рис. 2.3.11. Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности отказов.

R - вероятность успешного использования системы при = 0.0005 1/ч

Rl3 - вероятность успешного использования системы при = 0.0003 1/ч

Rl8 - вероятность успешного использования системы при = 0.0008 1/ч

Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности восстановления  при λ = 0.0005 приведена на рисунке 2.3.12.

Рис. 2.3.12. Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности восстановления.

P - вероятность успешного использования системы при = 0.001 1/ч

Pu3 - вероятность успешного использования системы при  = 0.003 1/ч

Pu10 - вероятность успешного использования системы при  = 0.0001 1/ч

1. Выводы.

Из полученных в графиков следует, что с увеличением времени работы системы уменьшается вероятность ее безотказной работы.

Для заданных значений , , вероятность безотказной работы равна . Увеличение интенсивности отказов уменьшает вероятность безотказной работы системы, а увеличением интенсивности восстановления, увеличивает её.

Для заданных значений , среднее время безотказной работы составляет ч. Что на много меньше заданного времени работы системы. Увеличение интенсивности отказов уменьшает среднее время безотказной работы системы, а увеличением интенсивности восстановления, увеличивает его.

Для заданных значений , коэффициент готовности составляет . Увеличение интенсивности отказов уменьшает коэффициент готовности системы, а увеличением интенсивности восстановления, увеличивает его.

Для заданных значений , наработка на отказ составляет = 1407, что на много меньше заданного значения ч. Увеличение интенсивности отказов уменьшает время наработки на отказ, а увеличением интенсивности восстановления, увеличивает его.

Для заданных значений , , вероятность успешного использования системы равна . С увеличением времени работы системы и интенсивности отказов уменьшается вероятность ее успешного использования. С увеличением интенсивности восстановления увеличивается вероятность успешного использования системы.

1. Сравнение характеристик восстанавливаемых резервированных систем с дробной кратностью при ограниченном ремонте

Результаты расчетов сведены в таблицу 3.1.1.

Параметр	Восстанавливаемая резервируемая система с целой кратностью
	с нагруженным резервом	с частично нагруженным резервом	с ненагруженным резервом
Вероятность безотказной работы		0.0267	0.0388
Среднее время безотказной работы	2233	2909	3185
Коэффициент готовности	0.5312	0.5705	0.5846
Наработка на отказ	1133	1328	1407
Вероятность успешного использования

Табл. 2.1.1. Результирующие характеристики восстанавливаемых резервированных систем с дробной кратностью при ограниченном ремонте.

Лучшими показателями надежности из рассмотренных восстанавливаемых резервируемых систем с целой кратностью обладает восстанавливаемая резервируемая система с целой кратностью с ненагруженным резервом. Ожидаемо наихудшими характеристиками надежности обладает система, с нагруженным резервом. Однако для системы, все резервные элементы которой находятся в горячем резерве, меньшее время занимает переключение с отказавшего элемента на резервный, что при данных расчетах не учитывалось.

1. Заключение

Расчеты показали, что при использовании заданных элементов в невосстанавливаемой системе, временные характеристики не соответствуют заявленным требованиям. Полученные характеристики на порядок меньше требуемых, что говорит о том, что данная конфигурация системы не соответствует заявленным требованиям.

Даже использование этих элементов в восстанавливаемой системе временные характеристики системы значительно не дотягивают до требуемых. При лучшем варианте (восстанавливаемая система с ненагруженным резервом) вероятность работоспособности системы по истечение заданного промежутка времени составит всего . Это значение слишком мало, чтобы рекомендовать данную конфигурацию для использования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надёжности. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. – 704 с.

2. Кузовлев В.И. Лекции по курсу “Надёжность и достоверность”, МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра ИУ5, 10 семестр, 2011 г.