2001 Сысолятин (3абв,7абв) (Архив курсачей с неизвестными вариантами), страница 2

2.3. Невосстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью с ненагруженным резервом

2.3.1. Расчетно-логическая схема системы.

1 2 3 W=4

1

S=2

Считается, что для работы системы достаточно наличие четырех работающих элементов.

2.3.2. Граф состояний системы.

0 1 2 3

2.3.3. Расчет основных характеристик системы.

Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:

Нормировочное условие: (*)

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система принимает вид:

Из этой системы:

После применения обратного преобразования Лапласа:

Функцию вероятности безотказной работы системы, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия (*), можно записать следующим образом:

P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t) = 1-P₃(t)

P_сист (t, ) =

Для заданных значений t = 120 ч и = 0.001 1/ч

P_сист = 0.987

Зависимость вероятности безотказной работы от времени:

Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов:

Среднее время безотказной работы:

m_t( ) = =

m_t( ) =

Для заданного значения = 0.001 1/ч m_t( =0.001) = 750 ч.

Зависимость среднего времени безотказной работы от интенсивности отказов:

2.3.4. Выводы.

Из полученных графиков следует, что с увеличением времени работы системы уменьшается вероятность ее безотказной работы.

С увеличением интенсивности отказов уменьшается вероятность безотказной работы системы.

При заданных значениях t = 120 ч. и = 0.001 1/ч вероятность безотказной работы системы P_сист = 0.987.

С увеличением интенсивности отказов уменьшается среднее время безотказной работы. Полученная зависимость является гиперболической. Для заданного значения интенсивности отказов = 0.001 1/ч среднее время безотказной работы m_t составляет 750 ч., что превышает заданное t=120. Следовательно, с вероятностью P=0.987 к заданному времени система будет находиться в работоспособном состоянии.

2.4. Сравнение характеристик невосстанавливаемых резервированных систем с дробной кратностью и различными типами резервов, рассмотренных в п. 2.1.- п.2.3.

Следует отметить, что система, рассмотренная в п. 2.3. является частным случаем системы, рассмотренной в п.2.2 при ₀ =0, аналогично система, рассмотренная в п. 2.1. - частный случай системы п. 2.2. при ₀ = .

Сопоставление систем удобно провести с помощью сравнительного графика зависимостей вероятностей безотказной работы от времени:

На этом графике:

Px - вероятность безотказной работы для системы с холодным (ненагруженным) резервом.

Рт - вероятность безотказной работы для системы с теплым (частично нагруженным) резервом.

Рг - вероятность безотказной работы для системы с горячим (нагруженным) резервом.

Характеристики надежности для заданных значений t = 120 ч, = 0.001 1/ч, ₀ =0.0005 1/ч.:

Лучшими показателями надежности из рассмотренных невосстанавливаемых систем с дробной кратностью и различными типами резерва обладает резервированная система с дробной кратностью с холодным резервом. Наихудшими характеристиками надежности обладает система с горячим резервом, однако в реальных условиях для такой системы меньшее время занимает переключение с отказавшего элемента на резервный, что при расчетах не учитывалось.

3. ВОССТАНАВЛИВАЕМАЯ РЕЗЕРВИРОВАННАЯ СИСТЕМА С ДРОБНОЙ КРАТНОСТЬЮ ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ РЕМОНТЕ

3.1. Восстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью при неограниченном ремонте с горячим резервом

3.1.1. Расчетно-логическая схема системы.

1 2 3 W=4

1 S=2

Считается, что для работы системы достаточно наличие четырех работающих элементов.

3.1.2. Граф состояний системы.

0 1 2 3

2 3

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

3.1.3. Расчет основных характеристик системы.

Для нахождения вероятности безотказной работы системы и среднего времени безотказной работы системы необходимо запретить переходы из отказового состояния, то есть рассматривать состояние 3 как поглощающее. В этом случае получаемая система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система принимает вид:

Или, что то же самое:

Отсюда:

После применения обратного преобразования Лапласа и подстановки значений

= 0.0001 1/ч и = 0.0001 1/ч:

Функцию вероятности безотказной работы системы, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

P_сист = P₀(t) + P₁(t) + P₂(t)= 1-P₃(t)

Для = 0.0001 1/ч и = 0.0001 1/ч:

Для заданных значений t = 7200 ч, = 0.0001 1/ч и = 0.0001 1/ч:

P_сист = 0.427895

Зависимость вероятности безотказной работы от времени:

Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов:

Psist1 - вероятность безотказной работы при = 0.00005 1/ч

Psist2 - вероятность безотказной работы при = 0.0001 1/ч

Psist3 - вероятность безотказной работы при = 0.0005 1/ч

Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности восстановления:

Psist1 - вероятность безотказной работы при = 0.00005 1/ч

Psist2 - вероятность безотказной работы при = 0.0001 1/ч

Psist3 - вероятность безотказной работы при = 0.0005 1/ч

Среднее время безотказной работы:

m_t( ) =

Для заданных значений = 0.0001 1/ч и = 0.0001 1/ч:

m_t = =

m_t = 7666.67

С увеличением интенсивности отказов среднее время безотказной работы уменьшается ( = 0.0001 1/ч):

С увеличением интенсивности восстановления среднее время безотказной работы увеличивается ( = 0.0001 1/ч):

Нахождение коэффициента готовности системы можно осуществить двумя способами - путем составления дифференциальных уравнений на основании графа состояния системы и методом Половко (см. [3]).

Нахождение Кг методом дифференциальных уравнений:

Для графа состояний рассматриваемой системы (см. п. 3.1.2.) система дифференциальных уравнений имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

Если предположить, что потоки стационарны, то есть = 0, , =const, то можно получить следующую систему:

Тогда, исключая, например, третью строку как линейно зависимую от двух первых и четвертой, можно получить следующее уравнение:

Для заданных значений = 0.0001 1/ч и = 0.0001 1/ч вероятности нахождения системы в каждом из состояний принимают следующие значения:

P₀ = Кг₀ = 0.02381

P₁ = Кг₁ = 0.142857

P₂ = Кг₂ = 0.357143

P₃ = Кг₃ = 0.47619

Кг = P₀ + P₁ + P₁ = 1-P₃ = 0.52381

Нахождение Кг методом Половко:

P₀( , ) = = 0.02381

P₁( , ) = = 0.142857

P₂( , ) = = 0.357143

P₃( , ) = = 0.47619

Кг = P₀ + P₁ + P₁ = 1-P₃ = =0.52381

Значения Кг, полученный методом Половко, совпадает с предыдущим расчетным, что подтверждает правильность его нахождения.

Зависимость коэффициента готовности системы от интенсивности отказов:

Зависимость коэффициента готовности системы от интенсивности восстановления:

Наработка на отказ:

= =

Для заданных значений: Кг( , ) = 0.52381, = 0.0001 1/ч

= 11000 ч.

Зависимость времени наработки на отказ от интенсивности отказов:

Зависимость времени наработки на отказ от интенсивности восстановления:

Среднее время восстановления системы:

= , для = 0.0001 1/ч = 3333.33 ч.

Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности восстановления: