Часть3(Оптика.Элементы кв. механики) (Лекции по физике 3 семестр), страница 10

Функцию  называют волновой функций или пси-функцией. Она, как правило, бывает комплексной.

Интерпретацию волновой функции дал в 1926 г. Борн: квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

dP= ² dV=^*, (17)

где ^* – комплексно-сопряженная волновая функция.

Величина  ²=^* = dP/ dV – имеет смысл плотности вероятности.

Интеграл от (17), взятый по всему пространству, должен равняться единице (вероятность достоверного события Р=1):

(18)

Выражение (18) называют условием нормировки.

Отметим еще раз, что волновая функция описывает микросостояние частицы, ее волновые свойства, и она позволяет ответить на все вопросы, которые имеет смысл ставить. Например, найти энергию и импульс частицы. Для этого следует вычислить следующие частные производные  по координате х и времени t:

откуда

. (19)

9.4. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах частиц Шредингер в 1926 г. получил уравнение

, (20)

где m – масса частицы, – мнимая единица, U – потенциальная энергия частицы,  – оператор Лапласа [см. (1.10)].

Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию (x,y,z,t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства.

Если поле внешних сил постоянно во времени (т.е. стационарно), то U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения (20) распадается на два множителя

(x, y, z, t) =(x, y, z) exp[-i(E/ )t], (21)

где E/ =.

В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид

, (22)

где Е, U – полная и потенциальная энергия, m – масса частицы.

Следует заметить, что исторически название "волновой функции" возникло в связи с тем, что уравнение (20) или (22), определяющее эту функцию, относится к виду волновых уравнений.

9.5. Собственные функции и собственные значения. Свободная частица

Функции , удовлетворяющие уравнению Шредингера при данных U, называются собственными функциями.

Значения Е, при которых существуют решения уравнения (22), называются собственными значениями.

В качестве примера определим  и Е для свободной частицы.

Свободной называют частицу, на которую не действуют силы, т.е. . Следовательно, U(x)=const и ее можно принять равной нулю. Таким образом, в случае свободного движения частицы, ее полная энергия совпадает с кинетической, а скорость . Направим ось Х вдоль вектора . Тогда (22) можно записать в виде

. (23)

Прямой подстановкой можно убедится, что частным решением этого уравнения является функция (х)=Аexp(ikx), где А=сonst, k=const c собственным значением энергии

Е= . (24)

C учетом (21) волновая функция

(х)=Аexp(-it+ ikx)= Аexp[-(i/ )(Еt- р_xх)]. (25)

здесь =Е/ , k=р_x/ .

Функция (25) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля [cм. (16)].

Из (24) следует, что зависимость энергии от импульса

Е= ²k²/(2m)=Р_х²/(2m)=mv²/2 (26)

оказывается обычной для нерелятивиских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения, т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства

 ²=^*=A²,

т.е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

9.6. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»

Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида

При таком условии частица не проникает за

пределы "ямы", т.е. (0)= (l)=0. (27)

В пределах ямы (0<x<l) уравнение (22) сведется к уравнению

или , (28)

где k²= . Общее решение (28) (х)=Аsinkx+Bcoskx. (29)

Так как согласно (27) ψ(0)=0, то В=0, тогда (х)=Аsinkx . (30)

Условие (27) (l)=Аsinkl=0 выполняется только при kl=n, где n=1,2...целые числа, т.е. необходимо, чтобы k=n/l. (31)

Из (29) и (31) следует, что (32)

Таким образом, энергия в «потенциальной яме» принимает лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е_n называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни, называется главным квантовым числом.

Заметим, что n=1 cоответствует минимальная энергия Е₁0.

Подставив в (30) значения k из (31), найдем собственные функции

.

Постоянную А найдем из условия нормировки (18), которое для данного случая имеет вид

.

В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид

(33)

Графики этих функций, соответствующие уровням энергии при n=1, 2, 3, приведены на рис. 5 (а). На рис. 5 (б) изображены плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы

Из рис. следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находится в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траектории частицы в квантовой механике несостоятельны.

9.7. Квантовый осциллятор

Классическим осциллятором в классической механике называли частицу массой m, колеблющуюся с частотой ₀=k/m под действием упругой силы F=-kx.

Потенциальная энергия такой частицы U=kx²/2=m x²/2; в точках с координатами х_max она равна полной энергии Е. Т.о., энергия частицы могла принимать любые значения, т.е. изменяться непрерывно (рис.6).

В квантовой механике понятие силы не используется, поэтому квантовый осциллятор следует определить как частицу с потенциальной энергией U=kx²/2=m x²/2. (34)

Подставляя (34) в (22) и учитывая, что частица движется только вдоль одной прямой (вдоль оси х), получим

. (35)

Решая уравнение (35), можно получить, что энергия (энергетический уровень) частицы принимает только дискретные значения (квантуется).

(36)

n=0, 1, 2... – квантовые числа.

Наименьшее значение энергии E₀= ₀/2 определяется только собственной частотой ₀ и ее невозможно отнять у частицы никаким охлаждением, она сохранилась бы и при Т=0К.

Из (36) следует, что уровни находятся на равных расстояниях друг от друга

(37)

т .е. уровни эквидистантны [см. рис. 7, где на границе с потенциальной кривой U(х_max)=Е_n]. При больших квантовых числах n Е/Е_n=1/(n+12)0, т.е. происходит относительное сближение энергетических уровней и получаются результаты, близкие к результатам классического рассмотрения, когда энергия частицы может изменяться непрерывно, и, следовательно, может иметь любые значения. В этом заключается принцип соответствия, сформулированный Бором в 1923 г.:

При больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать выводам и результатам классической механики.

Более общая трактовка принципа соответствия заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения. Причем в определенных, предельных случаях, новая теория переходит в старую.

Лекция 12. Элементы квантовой электроники

12.1. Поглощение, спонтанное и вынужденное излучение

Пусть Е₁, Е₂, ... – значения энергии, которые может принимать атом или вообще любая атомная система.

При поглощении фотона с энергией h атом переходит с нижнего уровня m на более высокий энергетический уровень n (рис. 1а), при этом

h = E_n - E_m (1)

Атом может самопроизвольно перейти c высшего энергетического состояния E_n в низшее E_m с излучением фотона (рис.1, б).

n

m

m

E_n

E_m

E_m

E_m

n

n

E_n

E_n

m

Такое излучение называют спонтанным (самопроизвольным). Так как спонтанные переходы взаимно не связаны, то спонтанное излучение некогерентно.

В 1916 г. Эйнштейн постулировал, что кроме поглощения и спонтанного излучения должен существовать третий, качественно иной тип взаимодействия. Обсудим его.

Если на атом, находящийся в возбужденном состоянии Е_n, действует внешнее излучение с частотой , удовлетворяющей условию h=Е_n-Е_m, то возникает вынужденный (индуцированный) переход в состояние m с излучением фотона той же энергии h = Е_n - Е_m (рис. 1, в). Возникшее при этом излучение называют вынужденным (индуцированным) излучением. Таким образом, в процессе вынужденного излучения вовлечены 2 фотона: первый фотон, вызывающий испускание излучения, и вторичный фотон, испускаемый атомом. Существенно, что, вторичные фотоны неотличимы от первичных, являясь их копией.

Следовательно, вынужденное излучение (вторичные фотоны) тождественны вынуждающему излучению (первичным фотонам): оно имеет такие же частоту, фазу, поляризацию, направление распространения, как и вынуждающее излучение. Т.о. вынужденное излучение строго когерентно с вынуждающим излучением.

Эйнштейн показал, что число dN_n атомов, которые из общего числа атомов N_n, находящихся в состоянии n, перейдут в состояние m за время dt

dN_n=(A_nm+B_nm _) N_n dt , (2)

где A_nm – коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения, B_nm – коэффициент Эйнштейна для вынужденного излучения, _ – спектральная плотность энергии внешнего поля (полная объемная плотность энергии w = W/V связана со спектральной плотностью соотношением w= ).