А.Р.Пирумов, Г.Н.Трофимов, Н.Н.Холин - Сопротивление материалов, страница 9

   Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 10.7) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

   Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем плоского напряженного состояния. На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникают экстремальные касательные напряжения max-min , а главные напряжения действуют на площадках, наклоненных к оси стержня под углами ; главное напряжение .

   Особенности напряженного состояния при кручении нашли отражение в характере разрушения стержней. Так, разрушение стержня из дерева, плохо работающего на скалывание вдоль волокон, происходит от продольных трещин (рис. 8, a). Разрушение стержня из хрупкого металла (например, чугуна) происходит по винтовой линии, наклоненной к образующим под углом 45^o, т. е. по траектории главного напряжения (рис. 8,б).

ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ

Рассмотрим расчетную схему вала, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М и 2М и распределенными по длине: m, рис. 10.7.

Методика построения эпюры аналогична только что рассмотренной методике при растяжении-сжатии.

а) расчетная схема, б) первый участок, левая часть в) второй участок, левая часть г) третий участок, правая часть, д) эпюра внутренних крутящих моментов

Рис. 10.7. Построение эпюры внутренних крутящих моментов:

В исходных сечениях No 1,2 и 3 задаются положительными значениями внутренних крутящих моментов М₁, М₂, М₃. Пусть М=ml.

Для первого участка (рис. 10.7 б):

Для второго участка (рис.10.7 в):

Для третьего участка (рис.10.7 г):

Границы измерения параметра х₃ в следующей системе координат:

Тогда:

Отмеченные значения ординат откладываются на эпюре внутренних крутящих моментов (рис.10.7 д).

Пример.

Стержень переменного круглого сечения жестко заделан в концевых сечениях и нагружен моментом М.

Требуется:

1. Определить величины моментов в заделках.

2. Построить эпюры крутящих моментов Мz(z), наибольших касательных напряжений τ(z), относительных углов закручивания Ѳ(z) абсолютных углов закручивания ϕ(z). Для этого составить на каждом участке соответствующие аналитические выражения и определить в буквенном виде значения характерных ординат.

3. Определить из условия прочности и жесткости допускаемую величину момента М.

4. Построить эпюру касательных напряжений в опасном сечении(по напряжениям) при найденном значении [М].

Данные к задаче:

D=8·10^-² м; l=50·10^-²м; [τ]=80МПа; [Ѳ]=1 гр/м; G=8·10⁴МПа.

Кроме того, индивидуальность задания определяется геометрией стержня и величиной отношения диаметров.

= = 0,85

Решение.

Прежде всего необходимо пояснить, как определяется направление момента условно считается, что если в кружочке обозначения момента стоит точка, то как бы стрела направлена на нас, если крестик, то мы видим оперение стрелы. Так, на рис. 4.9 искомый момент М направлен по часовой стрелке относительно оси стержня, если смотреть с конца оси z.

Перед началом решения полезно определить соотношения геометрических параметров по участкам. Как принято, характерные сечения обозначаем начальными буквами латинского алфавита. Пронумеруем участки: ①-ый участок АВ,②-ой участок ВС и ③-ий участок СD, см. рис.4.9. В качестве эталонного выберем 2-й участок, диаметр которого задан непосредственно в данных к задаче. Все геометрические параметры участков выразим через эталонные. Итак, эталонные параметры:

; .

а) первый участок АВ:

б) второй участок ВС:

; ;

; ;

в) третий участок CD:

1. Определение величины моментов в заделках.

Направляем реактивные моменты М_А и М_D против направления действия момента М. Уравнение равновесия:

(4.24)

Одно уравнение с двумя неизвестными. В качестве недостающих уравнений составим уравнения совместимости перемещений с помощью закона Гука см.(4.16) и принципа независимости действия сил. Мысленно попеременно отбрасывается связи, накладываемые заделками в сечениях А и D, определим реактивные моменты, а уравнение (4.24) используем в качестве проверочного уравнения. Алгоритм решения данной задачи такой же, как в примере при расчете на растяжение-сжатие.

Отбрасываем связь в сечении А. Определяем угол поворота сечения А относительно сечения D, помня что в действительности этот угол равен нулю.

Слагаемые, содержащие М_А, взяты со знаком плюс, так как направление момента М_А относительно оси z против часовой стрелки. Соответственно слагаемое с моментом М взято со знаком минус.

Итак:

+

После сокращений на l и на и сложений получим:

М_А=0,407М.

Аналогично для заделки в сечении D:

Или:

После сокращений на l и на и сложений получим:

M_D=0,593M

Подставим полученные значения M_A и M_D в (4.24):

0,407М – М + 0,593М=0; 0≡0.

Наносим значения реактивных моментов на расчетную схему, см.рис.4.9.

1. Построение эпюр.

а) эпюра крутящих моментов.

На первом и втором участках рассмотрим внешние моменты слева от сечения:

М_z(z₁) = M_z(z₂) = - M_A =0,407M

Так как внешний момент М_А направлен против часовой стрелки относительно оси z и внутренний момент М_кр также направлен против часовой стрелки относительно оси z, вследствие совпадения направлений внешней нормали и оси z, то крутящий момент будет отрицательным.

На третьем участке рассмотрим внешние моменты справа от сечения:

М_z(z₃)=M_D=0,593M

В этом случае внешняя нормаль не совпадает с направлением оси z.

Строим эпюру M_z(z), см.рис.4.9.

б)эпюра наибольших касательных напряжений на контурах поперечных сечений.

;

;

;

Строим эпюру τ(z), см.рис.4.9.

в) эпюра относительных углов закручивания.

Строим эпюру Ѳ(z), см.рис.4.9.

г) эпюра абсолютных углов закручивания.

Согласно выражению(4.17) при Ѳ = const в пределах рассматриваемого участка , то эпюра Ү(А)=0, т.к. заделка

Абсолютный угол закручивания в сечении В будет определяться относительным углом закручивания на первом участке:

Ү(В)=Ѳ(z₁)·l₁=-0,212

При определении угла в сечении с необходимо учитывать и угол в сечении B:

Ү(C)=Ү(B)+Ѳ(z₂)·l₂= -0,424 +(-0,407 )·2l=-1,238

Соответственно:

Ү(D)=Ү(C)+Ѳ(z₃)·l₃= - 1,238 +1,241 ·l≈0

Определим ошибку в вычислениях:

∆Ү= т.е. вполне приемлемая точность в расчетах.

Строим эпюру Ү(z), cм.рис.4.9.

1. Определение допускаемого момента.

а) из условия прочности.

Опасным, то есть расчетным является любое сечение третьего участка.

τ^max = 1,241 ≤ [τ].

[M]_τ =

Коэффициент 10⁶для перевода единицы МН в Н.

б) из условия жесткости.

В данной задаче опасное сечение по условию жесткости совпало с сечением по условию прочности.

Ѳ^max=1,241 .

Необходимо заданный допускаемый угол в градусной мере перевести в радианную меру.

[Ѳ]=1

Окончательно принимаем:

[M]=4518,6 Н·м

4. Построение эпюры касательных напряжений в любом сечении участка три, оказавшийся опасным по величине напряжений.

у

τ^{m ax}=55,8МПа

х

D

d

При определении направлений касательных напряжений учитываем направление действия крутящего момента. На третьем участке он положительный, то есть относительно внешней нормали он направлен против часовой стрелки. Соответственно направляем напряжения. Стрелочки напряжений ни в коем случае не могут исходить из пространства высверленного отверстия, см. рис. 4.10.

Из эпюры τ(z):

Коэффициент 10^-6 для перевода единицы Па в МПа.

Наносим на эпюру значение τ^max, см. рис. 4.10.

РАСЧЕТ ВАЛОВ

   Рассмотрим расчет вала на прочность и жесткость. Пусть известна мощность W (кВт), передаваемая вращающимся с заданным числом оборотов в минуту (n) валом от источника мощности (например, двигателя) к ее потребителю (например, станку), а момент т, передаваемый валом, требуется найти, так как численно равный этому моменту крутящий момент необходим для расчета вала.

   Если число оборотов вала в минуту п и соответствующая угловая скорость (с^-1) постоянны, а Ф — угол поворота вала в данный момент времени t, то работа вращательного движения А=тФ. Тогда передаваемая валом мощность будет равна

Отсюда

кНм,

где учтено, что .