Лекция №3 (Лекции по матану 3-ий семестр)

Лекция №3

Теорема №7 – Доказательство

,

Дано:

Существует (2)

Доказать:

Ряд где (1)

= сходится, при q < 1

расходится, при q > 1

1) q < 1

Из существования (2) следует выполняется

(3)

(4)

, (5) сходится, как геометрическая прогрессия, следовательно ряд (1) сходится по признаку сравнения

2) q > 1

Из существования (2) следует

,

, , не выполняется необходимый признак сходимости

Очевидно, при q = 1 мы получим неопределенность, следовательно ничего сказать нельзя.

Пример:

- ряд сходится

Теорема №8 – Доказательство

Дано:

,

, где непрерывная, убывающая на

Тогда из сходимости следует сходимость ряда (1), из расходимости следует расходимость ряда (1)

- площадь криволинейной трапеции

- площадь n-ступенчатой фигуры, вложенной в криволинейную трапецию.

- это площадь большой n-ступенчатой фигуры, которая содержит в себе S криволинейной трапеции.

(*)

а) расходится, т.е.

Из правой части (*) , ,

б) сходится, т.е. существует

Переходя к пределу в левой части (*) будем иметь:

ограничена сверху и возрастает, следовательно у нее существует

Пример: - ряд Дирихле

= сходится, при

расходится, при

Тема №4

Знакопеременные ряды, знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Определение №6:

Числовой ряд из с произвольным распределением знаков будем назвывать знакопеременным рядом.

Определение №7:

Знакочередующийся ряд – ряд, члены которого попеременно меняют знак.

Пример:

Это ряд Лейбницкого типа и его сумма S не превосходит 1.

Теорема №9: - Признак Лейбница (сходимости знакочередующегося ряда) – это достаточный признак.

Пусть для ряда (2) выполняются:

1. Члены ряда убывают по абсолютной величине:

2. (по абсолютной величине)

Тогда ряд (2) сходится и сумма этого ряда S по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины 1-го члена ряда, т.е. (3)

В ходе доказательства надо использовать то, что нам дано и получить оценку (3)

Доказательство:

Т.е. существует ?

n=2k;

возрастает

Перепишем иначе:

(4) ограниченность имеет (как монотонно возрастающая и ограниченная последовательность) и при переходе к пределу в неравенстве (4) знак неравенства сохраняется

(5)

(6)

Если использовать второе условие Лейбница в равенстве (6), то получим, что

Теорема №10: - об оценке остатка ряда Лейбницкого типа

Пусть , (2) сходится, т.е. удовлетворяет условиям теоремы Лейбница.

Тогда остаток этого ряда так же будет рядом Лейбницкого типа.

- ряд Лейбницкого типа.

Модуль остатка ряда Лейбницкого типа не превосходит модуля 1-го из отбрасываемых членов.

(7)