Лекция №4 (1021378)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция №4

Тема №5

Абсолютно и условно (не абсолютно) сходящиеся ряды. Их свойства.

Определение №8: - абсолютная сходимость

Чтобы (1) абсолютно сходился, необходимо достаточно, чтобы сходился (2)

Определение №9: - условная сходимость

Чтобы (1) сходился условно, необходимо и достаточно, чтобы:

1. сходился

2. расходился

Теорема №11: - Достаточное условие сходимости числовых рядов, или о взаимосвязи сходимости и абсолютной сходимости.

Если сходится абсолютно, то он и просто сходится.

Доказательство:

Т.к. (1) абсолютно сходится, то сходится , следовательно существует , следовательно возрастает, следовательно (3)

- частичные суммы ряда (2)

(4)

- частичные суммы, входящие в с “+”

- частичные суммы, входящие в с “-” (сумма их абсолютных значений)

(5)

Используя неравенство (3) и равенство(5) можно сделать вывод:

(6)

(7)

Из (6) и (7) следует, что и ограничены

возрастает, возрастает (по их сути), следовательно существует и существует

По равенству 4 вытекает существование - теорема доказана.

Примеры:

№1

ряд Лейбницкого типа S < 1

расходится, следовательно, для исходного ряда абсолютной сходимости нет, следовательно, ряд сходится условно или не абсолютно.

№2

- геометрическая прогрессия, q = 1/2 < 1, следовательно сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

1. На абсолютно сходящиеся ряды распространяются все признаки сходящихся положительных рядов, например, Коши радикальный:

Е сли существует , то ряд = сходится, при q < 1

расходится, при q > 1

Примеры:

№1

- сходится абсолюьно.

1. Необходимый признак выполняется, т.к.

1. Проверка абсолютной сходимости

№2

= сходится абсолютно при

сходится условно при

расходится при

1) - сходится абсолютно, т.к.

- ряд Дирихле

2) - ряд Лейбницкого типа

3) - не выполняется необходимый признак

№3

- сходится абсолютно

- сходится

Замечание:

Из примеров виден алгоритм исследования произвольных числовых рядов на сходимость

Алгоритм:

1. Проверка необходимого признака (не выполняется – расходится, выполняется – к п. 2)

2. Проверка на абсолютную сходимость (если сходится абсолютно, то сходится и условно, если абсолютно не сходится, то к п.3)

3. Проверка условной сходимости (признак Лейбница и другие)

2) Сочетательное свойство

Теорема №12 – О сочетательном свойстве

Если абсолютно сходится, то для такого ряда сохраняется сочетательное свойство конечных сумм

Замечание 2:

На самом деле сочетательное свойство конечных сумм справедливо не только для абсолютно сходящихся рядов, но и для всех рядов.

3) Переместительное свойство

Теорема №13 – О переместительном свойстве абсолютно сходящихся рядов

Для абсолютно сходящихся рядов выполняется переместительное свойство конечных сумм, т.е.

Если , то

Замечание 3:

Это свойство справедливо только для абсолютно сходящихся рядов ( и для положительных рядов), а для условно сходящихся рядов, как будет показано позднее, это свойство не имеет места.

4) Перемножение абсолютно сходящихся радов

Теорема №14 – О произведении абсолютно сходящихся рядов

Пусть (8) сходится абсолютно, (9) сходится абсолютно, тогда так же сходится абсолютно и его сумма равна произведению сумм перемножаемых рядов

Замечание №4:

может быть составлен как угодно, лишь бы вошли все попарные произведения членов перемножаемых рядов.

Например:

Замечание 5:

Если ряды (8) и (9) сходятся не абсолютно, то в результате перемножения можно получить даже расходящийся ряд.

Например:

сходится условно;

сходится условно;

не стремится к 0, не выполняется необходимый признак, следовательно, ряд расходится.

Замечание 6:

Для условно сходящихся рядов переместительное свойство не имеет места.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций