Лекции по физике. Термодинамика, страница 7

В зависимости от рода частиц, расположенных в узлах кристаллической решетки, и от характера сил взаимодействия между частицами различают 4 физических типа кристалла:

1. Ионные кристаллы, например, NaCl. В узлах кристаллической решетки находятся ионы разных знаков. Связь между ионами обусловлена силами кулоновского притяжения и называется такая связь гетерополярной.

2. Атомные кристаллы, например, С (алмаз), Ge, Si. В узлах решетки находятся нейтральные атомы, удерживающиеся там благодаря ковалентным связям, возникающим за счет обменных сил, имеющих чисто квантовый характер.

3. Металлические кристаллы. В узлах кристаллической решётки располагаются положительные ионы металла. Валентные электроны в металлах слабо связаны со своими атомами, они свободно перемещаются по всему объёму кристалла, образуя так называемый «электронный газ». Он связывает между собой положительно заряженные ионы.

4. Молекулярные кристаллы, например, нафталин, - в твёрдом состоянии (сухой лёд). Они состоят из молекул, связанных между собой силами Ван-дер-Ваальса, т.е. cилами взаимодействия индуцированных молекулярных электрических диполей.

7.2.Элементы квантовой статистики

Дуализм (двойственность) волн и частиц относится к числу фундаментальных концепций современной физики. В кристаллах имеется много полей, которые проявляют оба эти аспекта - и волновой, и корпускулярный. Кванты энергий таких полей получили собственные названия. Подобно тому как фотон описывает корпускулярные свойства электромагнитного поля, термины фонон, магнон, плазмон, полярон и экситон описывают некоторые квантовые поля в кристалле. Фононы, магноны, плазмоны, поляроны и экситоны ведут себя почти как частицы и называются квазичастицы. В отличие от реальных частиц, которые существуют как в среде, так и в вакууме, квазичастицы существуют лишь только в среде. Итак, твёрдые тела состоят из огромного числа как частиц (молекул, атомов, ядер атомов, протонов, нейтронов, электронов и т. д.), так и квазичастиц. Кроме того в твёрдых телах распространяются электромагнитные поля в виде огромного числа частиц - фотонов.

Поведение этих частиц и квазичастиц описывается с использованием статистических методов, аналогично тому, как описывалось поведение молекул идеального газа в лекциях 1,2.

Напоминаем, что задача статистики - указать распределение частиц по энергии Е, импульса Р .... Зная функцию распределения f(Е) и f(Р)..., можно вычислить средние физические величины, характеризующие состояние системы в целом. В зависимости от условий частицы системы подчиняются законам либо классической физики (лекции 1,2), либо квантовой физики. Соответственно различаются классическая и квантовая статистики. У классических частиц параметры изменяются непрерывно. Поэтому в классической статистике f(x)dx указывает число частиц (или долю частиц), параметр х которых лежит в интервале от х до х+dx. В классической статистике тождественные, т. е. одинаковые по своим физическим свойствам, частицы различимы по нахождению в пространстве, импульсам... Квантовые статистики отличаются от классических из-за того, что в них частицы подчиняются квантовым законам: параметры частиц квантуются, т. е. принимают только дискретные значения и квантовые закономерности имеют всегда вероятный характер. В квантовой физике существует важное положение о принципиальной неразличимости тождественных частиц.

7.3. Фермионы и бозоны. Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

Согласно современной квантовой теории все элементарные и сложные частицы, а также квазичастицы разделяются на два класса - фермионы и бозоны.

К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны и все другие частицы, имеющие полуцелые проекции спина, т.е. L_SZ=(2n+1) /2 , где n=0, 1, 2 ... - целые числа. Напомним, что спин (spin) L_S - это собственный момент импульса частиц, имеющий квантовую природу.

К бозонам относятся фотоны, некоторые ядра атомов, квазичастицы: фононы, магноны, плазмоны, экситоны. Все они имеют проекцию спина либо равную нулю, либо равную целому числу , т.е. L_SZ=n . Фермионы и бозоны имеют различные свойства.

1. Фермионы

Они подчиняются принципу Паули - в одном квантовом состоянии может находится не более одного фермиона (или в одном квантовом состоянии может находиться только один фермион). Т.е. фермионы - индивидуалисты. Система фермионов описывается распределением Ферми-Дирака: среднее число фермионов <n_i>, приходящееся на одно квантовое состояние с данной энергией Е_i

<n_i>= , (1)

где k - постоянная Больцмана, Т - термодинамическая температура,  - химический потенциал.

Поясним физический смысл химического потенциала. Известно, что первое начало термодинамики для системы с переменным числом частиц N имеет вид

Q=dU+A-dN, (2)

отсюда изменение внутренней энергии dU=ТdS-PdV+dN. Таким образом, слагаемое dN учитывает изменение внутренней энергии системы за счет изменения числа частиц на dN. Пусть протекает адиабатический (dQ=ТdS=0) изохорический (dV=0) процесс, тогда dU=dN и химический потенциал = (dU /dN)_{S, V},

т. е. он характеризует изменение внутренней энергии системы dU при добавлении в систему одной частицы, когда система при этом не получала тепла и не совершала работу;  зависит от внешних параметров V, T и числа частиц N. Для фермионов >0.

На рис. 1(а) сплошной кривой представлено распределение Ферми-Дирака.

Если Т0, то из (1) следует:

  = (3)

Это значит, что при Т = 0 частицы Ферми - газа заполняют все квантовые состояния с энергиями <  . Квантовые состояния с более высокими энергиями не заполнены. Кривая распределения вырождается в прямоугольник (рис. 1б). Значение энергии, ниже которой все состояния системы частиц фермионов при Т = 0 К заняты, называется энергией Ферми . Для идеального ферми газа при Т = 0 К. Можно показать это

, (4)

г де m и n - масса и концентрация фермионов. Следовательно, максимальная энергия, которую могут иметь электроны в металле при Т = 0 К, равна энергии Ферми . Для хорошо проводящих металлов , для полупроводников - значительно меньше

7.3.2. Бозоны

Они не подчиняются принципу Паули, т. е. в одном квантовом состоянии может быть много бозонов, т. е. бозоны - коллективисты. Система бозонов описывается распределением Бозе-Эйнштейна: среднее число бозонов  , приходящееся на одно квантовое состояние с энергией

(5)

Поскольку числа заполнения   не могут быть отрицательными, то из (5) следует, что для бозонов  0. Распределение Бозе-газа представлено на рис.2.

7.4 Понятие о вырождении системы частиц

Система частиц называется вырожденной, если её свойства за счёт квантовых эффектов отличаются от свойств классических систем. Найдём критерии вырождения частиц. Распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна можно представить в следующем виде

, (6)

где А= - параметр вырождения. (7)

При А<<1 и 1 в (6) можно пренебречь. В итоге получаем

(8)

Это распределение Максвелла-Больцмана для классических систем [см. формулу (34) в лекции 1,2]. Из анализа (7) следует, что чем выше температура Т, тем меньше А и тем более классическим становится распределение частиц по энергиям (8).

Температура, при которой начинают проявляться квантовые эффекты, называется температурой вырождения . Можно показать, что

, (9)

где m и n - масса и концентрация частиц.

Таким образом, при Т<<T₀ газ вырожден и подчиняется квантовым статистикам. При газ не вырожден и он подчиняется классической статистике Максвелла-Больцмана.

Расчёт по формуле (9) позволяет определить температуру вырождения:

1. Для водорода при нормальных условиях ( ) , следовательно, водород при Т>>1K не вырожден и подчиняется классической статистике Максвелла-Больцмана.

2. Для свободных электронов (для электронного газа) в серебре . Подобные же значения получаются для всех других хорошо проводящих металлов. При таких высоких температурах ни один металл в твёрдом состоянии существовать не может. Отсюда следует, что электронный газ в металлах полностью вырожден и подчиняется только квантовой статистике Ферми-Дирака.

3. Для фотонов, масса которых равна нулю, из (9) следует, что . Следовательно, газ фотонов всегда вырожден и подчиняется квантовой статистике Бозе-Эйнштейна.

Лекция 8. Тепловые свойства твердых тел (кристаллов)

8.1. Классическая теория теплоемкости кристаллов. Закон Дюлонга и Пти

Простейшей моделью кристалла является правильно построенная кристаллическая решетка, в узлах которой помещаются атомы (или ионы, молекулы), принимаемые за материальные точки. Атом совершает тепловые колебания около положения равновесия. Если колебания малы, то они будут гармоническими. Энергия каждого атома слагается из потенциальной W_п и кинетической W_к. Известно [ cм. конспект лекций Физика, ч. I, лекции 11, 12 формулы (7), (8)], что в случае гармонических колебаний

W_п=(1/2) kA²cos²(t+)=(1/4) kA²[1+cos2(t+)], (1)

W_к=(1/2) kA²sin²(t+)=(1/4) kA²[1-сos2(t+)].

Т

Рис. 1

ак как cos2(t+) c равной вероятностью принимают как положительные так и отрицательные значения и поэтому при усреднении обращается в нуль, то <W_K>=<W_n>=(1/4)kA².

В лекции 4 показано, что на каждую степень свободы приходиться в среднем кинетическая энергия (1/2)kT. Атом имеет 3 степени свободы, поэтому <W_K>=<W_n>=(3/2)kT. Таким образом средняя энергия атома <Е>=<W_K>+<W_n>=3kT. Умножив эту величину на постоянную Авогадро N_A (число атомов в моле вещества), найдем внутреннюю энергию моля твердого тела

U=3kTN_A=3RT, (2)