Shpora3 (Много полезного к экзамену)

Кинематика материальной точки.

Материальная точка – тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

Абсолютно твёрдое тело – система материальных точек, расстояние между которыми не изменяется в процессе движения.

Движение тела называется поступательным, если любая прямая, соединяющая две любые его точки, остается всё время параллельной самой себе.

При вращательном движении твёрдого тела все его точки описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой – оси вращения.

Радиус-вектор, скорость и ускорение.

Положение точки может быть задано радиус-вектором r, проведённый из начала системы координат к точке. Радиус вектор зависит от времени r=r(t). Векторному уравнению эквивалентна система скалярных уравнений: x=x(t), y=y(t), z=z(t). Называются уравнениями движения материальной точки.

скорости равен <V>=r/t и направлен вдоль хорды АВ в ту же сторону, что и вектор перемещения r. Скорость в точке А (мгновенная скорость) V=lim(t0)(r/t)=dr/dt. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения. Так как модуль вектора r равен длине ds малого участка траектории, то =|V|=ds/dt, т.е. модуль скорости равен первой производной по времени.

Быстрота изменения скорости характеризуется вектором ускорения а.

Среднее ускорение – отношение изменения скорости V к промежутку времени t, в течение которого произошло это изменение: <a>=V/t. Вектор среднего ускорения совпадает по направлению с вектором изменения скорости.

Мгновенное ускорение a=lim(t0)(V/t)=dV/dt.

Ускорение – векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Нормальная и тангенциальная составляющая.

Вектор V можно разложить на две составляющие: V - вдоль касательной, Vn – вдоль нормали. V определяет изменение скорости по модулю, Vn – по направлению за промежуток t: a=lim(t0)(V/t)=lim(t0)(V/t)+lim(t0)(Vn/t)=a+an.

Модуль тангенциального ускорения равен производной модуля скорости по времени: a=d/dt.

Модуль нормального ускорения: an=²/R, где R – радиус кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории.

Радиус кривизны представляет собой радиус окружности, которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом её участке. Центром такой окружности называется центром кривизны для данной точки кривой.

Кинематика вращательного движения.

Угловые скорость и ускорение.

Пусть радиус окружности, описываемой некоторой точкой, равен r, а её линейное перемещение – ds. Тогда угловое перемещение d (угол поворота радиус-вектора) d=ds/r.

Угловая скорость равна первой производной от угла поворота радиус-вектора по времени: =lim(t0)(/t)=d/dt. Если направление вращения винта совпадает с вращением тела, то конец винта укажет направление вектора .

Время одного полного поворота тела вокруг оси вращения называют периодом обращения T, а величину , обратную периоду, - частотой. =2/T=2.

Единица угловой скорости – рад/с.

Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением.

Угловое ускорение равно первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота радиус-вектора по времени: =lim(t0)(/t)=d/dt=d²/dt².

Угловое ускорение также является векторной величиной. При ускоренном вращении  совпадает с вектором , при замедленном вращении  противоположно .

Единица углового ускорения – рад/с².

Связь линейных и угловых характеристик движения.

Если угловое перемещение всех точек абсолютно твёрдого тела одинаково, то все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение в данный момент времени.

Линейные характеристики – перемещение, скорость, ускорение – различны для разных точек твёрдого тела. Связь между линейными и угловыми характеристиками движущейся точки можно получить, используя равенство d=ds/r.

Дифференцируя это равенство по времени, получаем: ds/dt=r(d/dt) или =r.

Дифференцируя это равенство по времени дважды, получаем соотношение между тангенциальным и угловым ускорением: d²s/dt²=r(d²/dt²) или a=r.

Инерциальные системы отсчёта.

Первый закон Ньютона (закон инерции). Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не изменит это состояние.

Системы отсчёта, в которых выполняется первый закон Ньютона называют инерциальными.

К таким системам относится, например, гелиоцентрическая система отсчёта, в которой за начало координат принимают солнце, а оси проводят в направлении звёзд, которые считаются неподвижными.

Понятие силы и инертной массы.

Сила – векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел.

Инертность – свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Физическая величина, являющаяся мерой инертности тела при поступательном движении, называется массой. Масса тела равна сумме масс всех частиц (или материальных точек), из которых оно состоит.

Поступательное движение твёрдого тела может быть охарактеризовано движением одной точки – центром масс (центром инерции).

Центр масс системы материальных точек – точка, координаты которой определяются следующими соотношениями:

n – число материальных точек, mi – масса i-ой материальной точки, xi, yi, zi – координаты i-ой материальной точки.

Законы динамики.

Второй закон Ньютона. Этот закон устанавливает связь между динамическими и кинематическими величинами и является основным законом динамики.

Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом) в инерциальной системе отсчёта, пропорционально действующей на точку силе, обратно пропорционально массе материальной точки и по направлению совпадает с силой: a=F/m.

Ускорение центра масс системы определяется результирующей силой.

Ньютоном второй закон механики был сформулирован не через ускорение, а через импульс тела (количество движения).

Изменение количества движения (импульса тела) пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению прямой, по которой эта сила действует.

Импульсом тела называют произведение массы тела на скорость его движения: p=mV.

Так как a=dV/dt, то формулу a=F/m можно записать в виде F=m(dV/dt)=(d/dt)mV=dp/dt.

Единица силы – ньютон(Н).

Ньютон – сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы.

Третий закон Ньютона. Силы с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны прямой, соединяющей эти тела: F1=-F2.

Силы в природе.

В системе отсчёта, связанной с землёй, на всякое тело действует сила P=mg. Эта сила называется силой тяжести. Она приблизительно равна силе гравитационного притяжения тела к земле.

Вес тела – это сила, с которой тело действует на подвес или опору вследствие гравитационного притяжения к Земле.

Фундаментальные взаимодействия.

Свойства сил упругости и тяготения.

Силы упругости возникают в результате взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией.

Упругая сила пропорциональна смещению частицы из положения равновесия и направлена к положению равновесия: F= -kr, где r – радиус вектор, характеризующий смещение частицы из положения равновесия, k – упругость.

Силы тяготения (гравитационные силы) – это силы притяжения, которые подчиняются закону всемирного тяготения.

Сила тяжести – сила, с которой тело притягивается Землёй.

Свойства сил трения.

Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого. Fтр=kN, где k – коэффициент трения скольжения, N – сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу.

Сила трения направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению данного тела относительно другого.

Закон сохранения импульса системы материальных точек.

Силы взаимодействия между частицами (частями) некоторой рассматриваемой системы тел называют внутренними.

Силы, действующие на тела данной системы со стороны тел, не включённых в эту систему, называют внешними.

Если система состоит из n – материальных точек, то уравнение можно записать в виде . Перепишем это равенство в виде .

В замкнутой системе внешние силы отсутствуют, т.е. sum(Fi)=0, следовательно dp/dt=0 или p=sum(miVi)=const.

Это равенство выражает закон сохранения импульса: полный вектор импульса замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

Работа переменной силы.

Работа, совершаемая постоянной силой F при перемещении тела M на прямолинейном участке пути s равна A=Fs=Fscos(). Работа – скалярная величина. Если cos()>0, то работа – положительна.

Консервативная (потенциальная) сила – сила, работа которой определяется только начальным и конечным положениями тела и не зависит от формы пути.

Примером работы, совершаемой переменной силой, может служить работа упругой или квазиупругой силы F=-kx, где k – упругость, x – смещение тела, на которое действует упругая сила F относительно положения равновесия (x=0).

Мощность – величина, характеризующая скорость выполнения работы. N=dA/dt.

Кинетическая энергия и её связь с работой внешних и внутренних сил.

Кинетической энергией называют энергию, зависящую от скорости движения тела.

Всякое движущее тело может производить работу. Кинетическая энергия определяется работой, которую может совершать тело вследствие того, что оно обладает определённой скоростью.

А= -m(d/dt). Элементарная работа, совершаемая движущимся телом против силы F на пути dx равна A=-Fdx=-m(d/dx)=-md.

Если скорость тела уменьшается от 1 до 2, то A=m₁²/2- m₂²/2, т.е. работа равна убыли кинетической энергии тела, т.к. работа совершается против внешних сил. Если внешние силы, действуя на тело, совершают работу, то кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью  равна Eк=m²/2.

При изменении скорости тела на d кинетическая энергия изменяется на dEк=d(m²/2)=md.

Понятие поля.

Свойства тел не локализованы только там, где находится его центр массы покоя, а распределены в окружающем тело пространстве, образуя силовое поле.

Силовое поле обладает всеми свойствами материи: пространственно-временной протяжённостью, инерцией, движением, энергией и действием. В настоящее время известно три вида гравитационных полей: гравитационное, электромагнитное, ядерное.

Поле тяготения – гравитационное поле. Это форма материи, по средствам которой осуществляется взаимодействие тел, обладающих массой.

Фундаментальным законом механики является закон всемирного тяготения (гравитации), установленный Ньютоном.

Согласно этому закону, любые две материальные точки взаимодействуют с силой, пропорциональной произведению их масс (m1 и m2) и обратно пропорционально квадрату расстояния r между ними: F=Gm1m2/r².

Коэффициент пропорциональности G называют гравитационной постоянной. G=6.67*10^-11 м³/(кг*с²).

Консервативные силы и потенциальные поля.

Поле, в котором работа силы не зависит от формы пути, а зависит лишь от положения начальной и конечной точек траектории, называют потенциальными, а силы, действующие в нём, - консервативными.

В потенциальном поле работа сил по любому замкнутому контуру равна нулю.

………………….

Закон сохранения механической энергии.