4_б-м ф-ии (Комплект шпор по теории и формулам)

5. Бесконечно малые (б.м.) функции.

1. Если предел функции при (здесь вместо a может быть а +, а -, + ∞, - ∞, ∞) равен нулю, то она называется бесконечно малой.

З амечание. Запись определения дана для конечного числа а.

2. Лемма (о связи функции и ее предела).

Для того, чтобы число А было пределом функции f(x) при , необходимо и достаточно, чтобы разность между функцией и ее пределом была бесконечно малой,

или коротко:

Доказательство:

1) необходимость.

. Обозначим , тогда

- б.м. при .

2) достаточность.

Пусть - б.м. при . Следовательно,

Лемма доказана.

6. Бесконечные пределы. Бесконечно большие (б.б.) функции (величины).

Мы уже рассмотрели случаи, когда аргумент х стремится к бесконечности (х→ ∞, х→ +∞, х→ -∞). Теперь перейдем к случаю у→ ∞ (или у→ +∞, у→ -∞).

Пример:

- дробно-линейная функция.

рис. 6.1. График функции

1. Определение бесконечного предела.

Если f(x)→ - ∞, то последнее неравенство изменяется на f(x) < -M; если f(x)→ + ∞, то – на f(x)> M.

Интервалы вида

1 ) |f(x)|> M

2 ) f(x) < -M

3 ) f(x) > M

называются соответственно окрестностями бесконечности (минус бесконечности, плюс бесконечности).

2. Функции, предел которых бесконечен, называются бесконечно большими (б.б.).

Примеры:

1) ;

2) ;

3. Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Если , то . И, наоборот, если , то .

Доказательство:

Пусть - б.м. при . Следовательно,

(обозначим )

F(x) – б.б.

Аналогично доказывается и второе утверждение.

Теорема доказана.

4.Свойства эквивалентностей.

Пусть , , - б.м. при .

. ~ рефлексивноть

~ ~ симметричность

~ и ~ ~ транзитивность.

. Теорема (о разности эквивалентных б.м.)

Две б.м. функций и будут эквивалентны тогда и только тогда, когда разность между ними есть б.м. более высокого порядка, чем каждая из этих функций, т.е.

( ~ )

Доказательство:

1) ~ - б.м.

по лемме .

Аналогично: т.к. ~ ~ ...

2) =0

=0

. Теорема ( о замене эквивалентными).

Предел отношения двух б.м. не изменится, если заменить эти б.м. на им эквивалентные, т.е. если = (1) и = (1) при ,

~ , а ~ при , то

Доказательство:

Преобразуем тождественное отношение :

= переходя к пределу в полученном равенстве, получим:

Эта теорема часто существенно упрощает вычисление пределов.

Замечание: Аналогичная теорема справедлива для б.б. функций.