27_дифференц сложн ф-ии (Комплект шпор по теории и формулам)

Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Если y = F(u) и u = u(x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция y = F[u(x)] = y(x) также дифференцируема по х, а ее дифференциал определяется по формуле .

Действительно, . Таким образом, дифференциал сложной функции равен произведению производной F’_u(u) на дифференциал аргумента u, что по форме совпадает с выражением для дифференциала простой функции y = f(x).

Это свойство I – ого дифференциала сохранять свою форму независимо от того, является ли функция простой или сложной функцией своего аргумента, называется инвариантностью.

Производная параметрически заданной функции.

Пусть задана функция y = y(x) задана параметрически:

, где t – параметр, .

Причем, предположим, что функция x = x(t) на отрезке однозначна, монотонна в строгом смысле и непрерывна. Тогда у этой функции существует обратная функция t = X(x), т.е. y = y(t) = y(X(x)) = y(x).

Пусть, кроме того, функции x(t) и y(t) дифференцируемы на . Тогда производная y’(x) найдется по формуле дифференцирования сложной функции:

, но по теореме о производной обратной функции имеем . Таким образом, получаем, что .

Пример:

рис. 10.1. График функции