19_Лагранж_Коши (Комплект шпор по теории и формулам)
Описание файла
Файл "19_Лагранж_Коши" внутри архива находится в следующих папках: Комплект шпор по теории и формулам, matan(по типовику 2008 года ;). Документ из архива "Комплект шпор по теории и формулам", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "19_Лагранж_Коши"
Текст из документа "19_Лагранж_Коши"
5. Теорема Лагранжа (формула конечных приращении)
Если функция 
непрерывна на 
и дифференцируема на 
, то существует хотя бы одна точка
такая, что 
(Это формула Лагранжа или формула конечных приращении).
Доказательство:
Построим вспомогательную функцию 
и параметр 
выберем так, чтобы 
удовлетворяла теореме Роля, т.е. чтобы 
, т.к. непрерывность и дифференцируемость функции очевидны. 
. Но, если удовлетворяет т. Роля, то существует точка такая, что 
6. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
Рассмотрим функцию , удовлетворяющую на отрезке условиям теоремы. Проведём стягиваюoую хорду АВ, тогда отношение 
, где 
- угол наклона этой хорды к оси 
.
Тогда теорема утверждает, что найдется хотя бы одна точка , в которой касательная будет иметь тот же угол наклона, что и стягивающая хорда.
Замечания:
1.Таких точек на может быть несколько, например
2. Часто бывает удобно записать формулу Лагранжа в виде отличном от приведенного. Если 
удовлетворяет условиям теоремы и точки 
и 
, то для отрезка 
будем иметь 
, где 
-некоторая точка, лежащая между и 
.
Задача: 1) Доказать неравенство 
.
Решение: Функция 
на удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа
, но
Д/З: Доказать: 1)
2)
7. Теорема Коши
Если на определены две функции 
и 
,которые непрерывны на , дифференцируемы на и 
, тогда существует хотя бы одна точка такая, что 
, т.е. отношение приращений функций на отрезке равно отношению производных этих функций в специально выбранной точке внутри отрезка.
Доказательство:
Рассмотрим вспомогательную функцию 
, содержащую параметр , который выберем так, чтобы 
удовлетворяла т. Ролля. Первым двум условиям этой теоремы удовлетворяет, т.к. и непрерывны и диф-мы. Потребуем выполнения 3-го условия:
.
По т. Ролля на существует хотя бы одна точка такая, что
, но 
, т.е. 
или
8. Геометрический смысл теоремы Коши.
Рассмотрим функцию 
, заданную параметрически:
и удовлетворяют теореме Коши. Из т. Коши 
на кривой 
существует точка 
, в которой касательная параллельна на хорде соединяющей начало 
и конец 
этой кривой.
На самом деле 
- тангенс угла наклона касательной, т.к. это 
в точке . 
- тангенс угла наклона хорды. 
касательная параллельна хорде.
