17_дифференц (Комплект шпор по теории и формулам)

Определение дифференциала.

1. Определение функции, дифференцируемой в точке, и дифференциала.

Пусть функция y = f(x) определена в . («прирастим» аргумент и функцию).

Определение.

Если приращение функции можно представить в виде , где А(х) не зависит от Δх, а , то функция y = f(x) называется дифференцируемой в , а выражение называется дифференциалом и обозначается . Приращение отличается от дифференциала на б.м.

.

Если А(х) ≠ 0, то дифференциал есть главная линейная часть приращения.

Пример:

y = x ².

2. Связь определения дифференцируемой функции, данного через производную, с определением дифференцируемой функции, данным через приращения.

Ранее говорилось, что функция, обладающая производной в точке, дифференцируема в этой точке (см. лекцию 6). Докажем эквивалентность этих двух определений.

Пусть Δу можно представить в виде . Разделим на Δх и перейдем к пределу при Δх → 0:

, т.е. из определения, данного в п. 1.1, следует существование производной.

И обратно: если , т.е. , то, следовательно, по лемме имеем:

, т.е. приращение имеет нужный вид.

Таким образом, дифференциал равен или, положив Δx = dх, , т.е. - производная равна отношению дифференциалов.

2. Геометрический смысл дифференциала.

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х_о, то , т.е. дифференциал геометрически изображает приращение ординаты касательной, проведенной к точке М₀:

рис. 2.1. Геометрический смысл дифференциала

3. Правила вычисления дифференциала.

1) если y = C = const, то dC = 0 ;

2)

3)

4) ;

Докажем, например, формулу (3):

Доказательство:

Пусть y = u∙v.

Следовательно, .

Формула (3) доказана.