16_произв сложн ф-ии обратн (Комплект шпор по теории и формулам)
Описание файла
Файл "16_произв сложн ф-ии обратн" внутри архива находится в следующих папках: Комплект шпор по теории и формулам, matan(по типовику 2008 года ;). Документ из архива "Комплект шпор по теории и формулам", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "16_произв сложн ф-ии обратн"
Текст из документа "16_произв сложн ф-ии обратн"
8. Производная сложной функции
Пусть - дифференцируемые функции своих аргументов.
Пример:
9. Производная обратной функции.
1. Если функция y = f(x) определена, монотонна в строгом смысле и непрерывна на некотором отрезке , то на соответствующем отрезке изменения функции определена обратная функция x = g(y), которая на этом отрезке также строго монотонна и непрерывна; при этом f(g(y)) = y.
Теорема (о дифференцировании обратной функции).
Если функция y = f(x) такова, как указано выше, и, кроме того, дифференцируема на , то обратная функция x = g(y) дифференцируема на и
Доказательство:
Дадим y приращение , тогда x получит приращение , причем в силу монотонности обеих функций и . Запишем отношение: . При , т.к. g(y) – непрерывна. Тогда: (стоящий в знаменателе предел существует, т.к. по условию функция y = f(x) дифференцируема).
Теорема доказана.
2. Производные обратных тригонометрических функций y = arcsin x, y = arcos x, y = arctg x, y = arcctg x.
Выведем формулы производных обратных тригонометрических функций:
-
y = arcsin x.
-
y = arcсos x.
Замечание:
-
y = arctg x.
-
y = arcctg x.