Дифференцируемость функции (Комплект шпор по теории и формулам)

Дифференцируемость функции:

Пусть функция f имеет производную в точке х (конечную): lim_x0y/x=f'(x). Тогда y/x для достаточно малых x можно записать в виде

суммы f'(х) и некоторой функции, которую мы обозначим через (x) и которая обладает тем свойством, что она стремится к нулю вместе с х: y/x=f'(x)+ (x) (при (x)0, x0) и приращение f в точке х может быть записано в виде y=f'(x)x+x(x) (при (x)0, x0) или y=f'(x)x+o(x)_x0 [1]. Ведь выражение о(x)_x0 понимается как функция от x такая, что её отношение к x стремится к нулю вместе с x.

Определение: Функция f наз. дифференци­руемой в точке х, если её приращение y в этой точке может быть представлено в виде y=Ax+o(x)_x0 [2],

где, А не зависит от x, но вообще зависит от х.

Теорема №2: Для того, чтобы функция f была дифференцируемой в точке х, т.е. чтобы её приращение в этой точке представлялось по формуле [2], необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке. И тогда A=f'(x).

Таким образом, сказать, что f имеет производную в точке х или f дифференцируема в точке х – это одно и то же. Поэтому процесс нахождения производной наз. ещё дифференцированием функции. Доказательство теоремы №1: Достаточность условия доказана выше: из существования конечной про­изводной f'(х) следовала возможность представления y в виде [1], где можно положить f'(x)=A. Необходимость условия: Пусть функция f диф­ференцируема в точке x: Тогда из [2], предполагая x0, получаем y/x=A+(o(x)/x)_x0=A+o[1]_x0. Предел правой части при x0 существует и равен А: Это означает, что существует производная f'(x)=A.